太空电梯讨论
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太空电梯
方程简化
A′AG=A′(AG)′
(A′)′A′=(AG)′AG
dA′A′=d(AG)AG
ln(A′)=ln(AG)+C1
A′=AGeC1
dAdx=AGeC1
dAA=eC1Gdx
dln(A)=eC1Gdx
⋯trivial integration
模型简化
最后有两个限制条件:
A(0)∫h0A(x)xdx∫h0A(x)dx=S=H(1)(2)
但是这个并不能解:
- 直接积分没法做
- Laplace transform 也没法做
所以我们来进一步简化这个模型。
因为电梯会放货物的部分只是下面的部分,我们甚至可以假定同步轨道以上的部分是不用来跑电梯的,所以我们就没有必要非要要求上面的部分也要遵从你一开始的等应力的假设。
同步轨道以上的部分可以直接设计成一个配重。这样的话第二个限制条件就变成了:
从地面到同步轨道的积分重量和配重合起来重心在同步轨道
∫h0A(x)xdx+MbH=H∫h0A(x)dx,
如果我们能够让 Mb 足够大(感觉这应该是必须的,因为在太空中一根长竿或者长绳的运动不同部分在不同的轨道高度上,不问题吧),这样就不需要考虑电梯本身到底重量怎么分布了。但是能这样做的前提是:从地面积分到同步轨道上的电梯绳和载重,总重量不是特别离谱的大。
看一下这个解的行为吧。
A(x)=exp([xμ(R+x)R−12ω2(2Rx+x2)]C1+lnS)
也就是
A(x)=Sexp([xμ(R+x)R−12ω2(2Rx+x2)]C1)≡S⋅[a(x)]C1,
其中
a(x)=exp([xμ(R+x)R−12ω2(2Rx+x2)])
显然有 a(0)=1。
A(x) 的行为主要由 a(x) 决定,C1 和 S 只是 scale,所以我们可以看看 a(x) 的行为,假定 C1=1。
然后看了下 exp 上面的指数部分, 也合理的。从下面一直到同步轨道,引力大于离心力,所以绳子上的拉力是向下的引力主导的,在同步轨道之上,如果还是要求绳子按照这种周期来的话,那就是离心力大于引力了,所以需要的截面变小了。不过如果使用配重这样的假设的话,只算到同步轨道。
下图是 ([xμ(R+x)R−12ω2(2Rx+x2)]) 的行为。这个东西要放到 exp 上,大的可怕。单位都是 m 。这个横截面太离谱了,不知道哪里弄错了。也许那个常数 C1 会很小很小?
我这里有点疑惑,应力的大小应该是影响了横截面积的,这个推导中好像决定最后横截面积的只有两个因素:初始的横截面和重心。
我犯糊涂了,应力因素是在横截面积初始条件里面考虑的。