[关闭]
@natsumi 2017-01-13T02:00:04.000000Z 字数 4873 阅读 1274

Fibonacci Tree 斐波那契树

Algorithms


HDU 4786

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)
Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Source: 2013 Asia Chengdu Regional Contest

问题描述

  Coach Pang is interested in Fibonacci numbers while Uncle Yang wants him to do some research on Spanning Tree. So Coach Pang decides to solve the following problem:
  Consider a bidirectional graph G with N vertices and M edges. All edges are painted into either white or black. Can we find a Spanning Tree with some positive Fibonacci number of white edges?
(Fibonacci number is defined as 1, 2, 3, 5, 8, ... )
给你一个图,每条边有两种颜色黑色或者白色,让你判断存不存在一棵生成树,使得白边的数量为斐波那契数。

输入

  The first line of the input contains an integer T, the number of test cases.
  For each test case, the first line contains two integers N(1 <= N <= 105) and M(0 <= M <= 105).
  Then M lines follow, each contains three integers u, v (1 <= u,v <= N, u<> v) and c (0 <= c <= 1), indicating an edge between u and v with a color c (1 for white and 0 for black).

输出

  For each test case, output a line “Case #x: s”. x is the case number and s is either “Yes” or “No” (without quotes) representing the answer to the problem.

示例

  1. //输入:
  2. 2
  3. 4 4
  4. 1 2 1
  5. 2 3 1
  6. 3 4 1
  7. 1 4 0
  8. 5 6
  9. 1 2 1
  10. 1 3 1
  11. 1 4 1
  12. 1 5 1
  13. 3 5 1
  14. 4 2 1
  1. //输出
  2. Case #1: Yes
  3. Case #2: No

分别求出白边在生成树中的最大值和最小值,用生成树思想来做。当然如果图不是连通图的话,则肯定输出No。然后判断在这个最大最小之间存不存斐波那契数,如果存在则Yes,否则No。因为在这个区间内总能找到一条白边可以用黑边来代替。

  1. //625MS 1772K
  2. #include<stdio.h>
  3. #include<string.h>
  4. int f[107]= {0,1};
  5. int pre[100007];
  6. int n,m,k;
  7. struct E
  8. {
  9. int u,v,c;
  10. } edg[100007];
  11. void fib()
  12. {
  13. for(k=2;; k++)
  14. {
  15. f[k]=f[k-1]+f[k-2];
  16. if(f[k]>100000)break;
  17. }
  18. }
  19. void init()
  20. {
  21. for(int i=0; i<=n; i++)
  22. pre[i]=i;
  23. }
  24. int find(int x)//路径压缩,否则很容易tle
  25. {
  26. int root=x;
  27. while(root!=pre[root])
  28. {
  29. root=pre[root];
  30. }
  31. while(x!=root)
  32. {
  33. int temp=pre[x];
  34. pre[x]=root;
  35. x=temp;
  36. }
  37. return root;
  38. }
  39. int main()
  40. {
  41. int t,cas=1;
  42. fib();
  43. scanf("%d",&t);
  44. while(t--)
  45. {
  46. int count=0;
  47. scanf("%d%d",&n,&m);
  48. for(int i=0; i<m; i++)
  49. scanf("%d%d%d",&edg[i].u,&edg[i].v,&edg[i].c);
  50. init();
  51. printf("Case #%d: ",cas++);
  52. for(int i=0; i<m; i++)//判断是不是连通图
  53. {
  54. int a=find(edg[i].u);
  55. int b=find(edg[i].v);
  56. if(a!=b)
  57. {
  58. pre[a]=b;
  59. count++;
  60. }
  61. }
  62. if(count!=n-1)
  63. {
  64. printf("No\n");
  65. continue;
  66. }
  67. init();
  68. int maxx=0,minn=0;
  69. for(int i=0; i<m; i++)//求白边的最大数量
  70. if(edg[i].c==1)
  71. {
  72. int a=find(edg[i].u);
  73. int b=find(edg[i].v);
  74. if(a!=b){pre[a]=b,maxx++;}
  75. }
  76. init();
  77. for(int i=0; i<m; i++)//求黑边最大数量
  78. if(edg[i].c==0)
  79. {
  80. int a=find(edg[i].u);
  81. int b=find(edg[i].v);
  82. if(a!=b){pre[a]=b,minn++;}
  83. }
  84. minn=n-1-minn;//求白边最小数量
  85. int flag=0;
  86. for(int i=1; i<k; i++)//在最大最小范围内,判断是否存在斐波那契数
  87. {
  88. if(f[i]>=minn&&f[i]<=maxx)
  89. {
  90. flag=1;
  91. break;
  92. }
  93. }
  94. if(flag)printf("Yes\n");
  95. else printf("No\n");
  96. }
  97. return 0;
  98. }

查并集和路径压缩

参考这篇萌萌哒文章
http://www.cnblogs.com/TonyNeal/p/bingchaji.html

  1. int pre[1000];
  2. int find(int x){//查找根节点
  3. int root=x;
  4. //查并集
  5. while ( pre[root]!= root )
  6. root=pre[root];//返回根节点 r
  7. int i=x , temp ;
  8. //路径压缩
  9. while( i != root ){
  10. temp = pre[i]; // 在改变上级之前用临时变量temp记录下他的值
  11. pre[i]= root ; //把上级改为根节点
  12. i = temp;
  13. }
  14. return root ;
  15. }

并查集的原理

为了解释并查集的原理,我将举一个更有爱的例子。

话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形成了一个一个的群落,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢?

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物,这样,每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长,要判断自己的队长是谁,只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?”这样一来,队长面子上挂不住了,而且效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通,至于他们是如何连通的,以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。
门派.gif

并查集的实现

int pre[1000];这个数组,记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号(依据题意而定),pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己,那说明他就是掌门人了,查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的,比如欧阳锋,那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁?不认识!要想知道自己的掌门是谁,只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的,意义再清楚不过了(路径压缩算法先不论,后面再说)。

  1. int pre[1000];
  2. int find(int x){//查找我(x)的掌门
  3. int root=x;//委托root去找掌门
  4. while ( pre[root]!= root )//如果r的上级不是r自己(也就是说找到的大侠他不是掌门 = =)
  5. root=pre[root];//root就接着找他的上级,直到找到掌门为止
  6. return root;//掌门驾到~~~
  7. }

join函数

join函数,就是在两个点之间连一条线,这样一来,原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办,画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的,一共只有一个pre[]数组,该如何实现呢?

还是举江湖的例子,假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物,他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太,那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。”他们看在我的面子上,同意了。这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极boss都是师太,那还打个球啊!反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!”抗议无效,上天安排的,最大。反正谁加入谁效果是一样的,我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧?

其实这里的join函数就和斐波那契树的代码中#55~61一样

  1. void join(int x,int y){//我想让虚竹和周芷若做朋友
  2. int fx=find(x),fy=find(y);//虚竹的老大是玄慈,芷若MM的老大是灭绝
  3. if(fx!=fy)//玄慈和灭绝显然不是同一个人
  4. pre[fx]=fy;//方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
  5. }

路径压缩

建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样,我也完全无法预计,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?” 上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀,原来是记己人,西礼西礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等,两位同学请留步,还有事情没完成呢!”我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧,省得级别太低,以后查找掌门麻环。” “唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码,看得懂很好,看不懂也没关系,直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。
路径压缩.gif

添加新批注
在作者公开此批注前,只有你和作者可见。
回复批注