超立方体体积

满足

$$s\geq \sum _ {i=1}^{n} x _ i$$ 的点 $$(x _ 1, x _ 2, ..., x_ n)$$
构成的立方体体积为：
$$n=2\rightarrow f(2,s)=\frac{s^2}{2}$$
$$n=3\rightarrow f(3,s)=\int _ {x=0}^{s}f(2,s-x)=\int _ {x=0}^{s} \frac{(s-x)^2}{2}=\frac{s^3}{6}$$
运用数学归纳法，设 $$f(n,s)=\frac{s^n}{n!}$$
那么
$$f(n,s)=\int _ {x = 0} ^ {s}\frac{(s-x)^{n-1}}{(n-1)!}=\int _ {x = 0} ^ s \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\frac{s^n}{n!}$$