太空电梯

Space 星际移民局

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太空电梯设计

相关常数、变量定义如下：

• $R$：行星半径；
• $h$：太空电梯总长度；
• $H$：行星同步轨道高度；
• $x$：任意位置距离行星表面的高度；
• $A$：$x$ 处的截面积大小；

为了保证整个太空电梯具有等强度设计，即任意截面上的正应力应该相等，要想确定横截面积 $A(x)$ ，应该满足什么样的规律，现进行如下推导：

截取 x 处的微元进行分析：

其中，$C(x)$ 为单位质量离心力，大小为 $\omega^2(R+x)$ ；
$W(x)$ 为单位质量重力，大小为 $\mu(R+x)^{-2}$ ；
因为任意截面上正应力相等，因此上下表面正应力均为 $\sigma(x)$ ；
下表面面积为 $A(x)$，那么上表面面积为 $A(x)+\frac{\partial A(x) }{\partial x}\mathrm{d}x$ 。

$x$ 方向上受力平衡，因此：

$\sigma (A+\frac{\partial A }{\partial x}\mathrm{d}x)+\rho A\mathrm{d}x\omega^2(R+x)-\sigma A-\rho A\mathrm{d}x\mu(R+x)^{-2}=0$

化简得到：

$\sigma = \frac{\rho A[\mu(R+x)^{-2}-\omega^2(R+x)]}{A'}$

令 $G(x) = \mu(R+x)^{-2}-\omega^2(R+x)$ ，则：

$\sigma = \frac{\rho AG}{A'}$

因为正应力不随 $x$ 的变化而变化，所以 $\sigma^\prime=0$ 。因此：

$\sigma^\prime=\rho \frac{-A''AG+(A')^2G+A'AG'}{(A')^2}=0$

在 $A'\neq 0$ 时：

$-A''AG+(A')^2G+A'AG' = 0$

这是一个二阶常微分方程，需要两个边界条件。首先可以从地面上太空电梯的初始横截面积入手，也就是：

$A(0)=S$

其次，假设设计的太空电梯不考虑配重的话，应该使整个结构的质心位于同步轨道高度，也就是：

$\frac{\int_0^hA(x)x\mathrm{d}x}{\int_0^hA(x)\mathrm{d}x}=H$

先代入第一个边界条件，解得：

$A(x)=\left(\begin{array}{c} S\\ \mathrm{e}^{\frac{2\, R\, \left(\mathrm{C} + \mathrm{log}\!\left(S\right)\right) - 2\, \mathrm{C}\, x - 2\, \mathrm{C}\, R + \frac{R\, {\mathrm{\omega}}^2\, x^3\, \left(\mathrm{C} + \mathrm{log}\!\left(S\right)\right)}{\mathrm{\mu}} + \frac{2\, R^3\, {\mathrm{\omega}}^2\, x\, \left(\mathrm{C} + \mathrm{log}\!\left(S\right)\right)}{\mathrm{\mu}} + \frac{3\, R^2\, {\mathrm{\omega}}^2\, x^2\, \left(\mathrm{C} + \mathrm{log}\!\left(S\right)\right)}{\mathrm{\mu}}}{2\, \left(R + x\right)}} \end{array}\right)$

由于我数值积分不是很熟，做到这里不知道怎么代入第二个边界条件把A(x)解出来......所以暂时先写到这。

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解方程方法有误，正确的处理方法在这里：https://www.zybuluo.com/emptymalei/note/102339

结合上面的解法，代入第一个边界条件，得到：

$A(x) = exp{(［\frac{x\mu}{(R+x)R}-\frac{1}{2}\omega^2(2Rx+x^2)］C_1+\ln S)}$

应力对横截面积的影响：

$\mathrm{d}A/A ＝2\mathrm{d}D/D = -2\mu\epsilon= -2\mu\sigma/E$

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想到如何处理$C_1$了，$C_1$其实与应力大小有关：

因为：

$A'=AGC_1$
(章鱼喵的推导中是$e^{C_1}$,应该是$C_1$才能得到 $A(x) = exp{(［\frac{x\mu}{(R+x)R}-\frac{1}{2}\omega^2(2Rx+x^2)］C_1+\ln S)}$ 的结果)

并且：
$\sigma = \frac{\rho AG}{A'}$

所以有：
$\sigma = \frac{\rho}{C_1}$ (检查了一下，量纲没有错，$C_1$代表的就是比强度的倒数)

$C_1=\frac{\rho}{\sigma}$

因为太空电梯的应力不能大于材料的屈服强度，所以对于不同的材料，$C_1$的值应该不同，可以选取几种材料算一算，看一下与PPT里面的数据相不相符，比如：

• 钢 屈服强度 $250MPa$ 密度 $7800kg/m^3$ $C_1^{s} =3.12e-5$
• 碳纤维 屈服强度 $4137MPa$ 密度 $1750kg/m^3$ $C_1^{cf} =4.230e-7$
• 碳纳米管 屈服强度 $7000MPa$ 密度 $116kg/m^3$ $C_1^{cnt} = 1.657e-8$

分别画图：

钢 太大了画不出来

碳纤维

碳纳米管

看来$C_1$对于A的影响非常大，所以基本上只要材料的比强度达到一定程度，太空电梯的建造就轻而易举了。

假如说最顶端的横截面积不超过地面横截面积的 100 倍，应该可以算出这种情况下对应的$C_1$和比强度是多少。

计算结果为：$C_1 = 9.51\times10^{-7}$，比强度为 10515.2e3，从这个表里可以看到，比强度在这个范围的材料还比较空缺。

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上面是在地球上建造，下面看看在火星上建造，难度会降低多少。

碳纤维

哇，看来碳纤维建造火星上的太空电梯绰绰有余！

然而钢材君依然表示压力山大：

和上面相同的方法计算，得到$C_1＝6\times10^{-7}$，比强度 1666e3，大致相当于玻璃纤维的比强度。