The ninth homework about Lyapunov exponent in 3.30

Defeng kong 2014301020081

1.Abstract

题目3.30 要求我们得出不同$\alpha$值下，stadium billiard 的 lyapunov exponent，因为题3.30需要用到教材上figure3.22等的程序，本次作业先依次输出教材上figure3.22，3.23，3.25等的图，最后给出不同$\alpha$下题目3，30的解。

2.Backgound

3.30：

Investigate the Lyapunov exponent of the stadium billiard for several values of$\alpha$.You can do this qualitatively by examining the behavior for only one set o initial conditions for each value of $\alpha$ you consider,or more qualitatively by averaging over a range of initial conditions for each value of $\alpha$.
碰撞中要处理好碰撞前后速度的变化，有速度关系：
$\vec{v}_{f,d}=-\vec{v}_{i,d}=-(\vec{v}_{i}\cdot\tilde{n} )\tilde{n}$
$\vec{v}_{f,p}=\vec{v}_{i,p}=\vec{v}_{i}-(\vec{v}_{i}\cdot\tilde{n} )\tilde{n}$
利用这个关系式我们可以这样处理：
如果知道碰撞前位置（x，y），碰撞前速度（vx，vy），可得碰撞后速度（vx_r，vy_r）：

m=(vx*x+vy*y)/np.sqrt(x**2+y**2)   
vx_r=vx-2.0*m*x/np.sqrt(x**2+y**2) 
vy_r=vy-2.0*m*y/np.sqrt(x**2+y**2) 
return vx_r,vy_r

3.The main body and Conclusion

对单位圆内弹性碰撞图：

源代码
可以看出图像非常对称，没有混沌现象。
其在y=0时 Phase-space 图为：

源代码

对于$\alpha$=0.01碰撞图：

源代码
可以看出出现混沌现象。
其在y=0时 Phase-space 图为：

源代码

对于$\alpha$=0.01，起始位置相差0.00001的两个碰撞系统，其相对距离随时间的函数为：

源代码
可见是呈指数增长关系（lyaunov exponent）。

对于其他$\alpha$=0.1，0.05，0.001，起始位置相差0.00001的情况，各图如下：



源代码
除$\alpha$=0.001外，其他皆呈指数关系，对$\alpha$=0.001，其混沌现象已经不明显了，显示出规律性。

4.Thanks

ppt,教材，网上教程。