信息安全的数学基础——第十章 环

大三上 期末复习

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环的定义

• 对加法构成一个交换群
• 满足结合律
• 满足分配律

如果还满足交换律，则可称之为交换环
如果有单位元，则可称之为有单位元环

零因子：一个环中存在2个非零元，它们相乘等于零元，分别为左零因子和右零因子，如果一个元素可以同时为左零因子和右零因子，则称其为零因子

逆元：如果一个有单位元环中存在2个元素，它们相乘等于单位元，则它们分别为左逆和右逆，如果一个元素同时为左逆和右逆，则称其为逆元

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整环和域

整环：

• 交换环
• 有单位元
• 无零因子

整环的性质：

• 消去律成立

域：（设其为K）

• 交换环
• 有单位元
• 每个非零元都为可逆元
• 即$K$对于加法构成一个交换群，$K^*=K/\{0\}$对于乘法构成一个交换群

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分式域

$E=A\times A^*$，R是E上的等价关系：如果$ad=bc,(a,b)R(c,d)$，即有：

• 自反性：对任意$(a,b)\in E, (a,b)R(a,b)$
• 对称性：如果$(a,b)R(c,d)$，则$(c,d)R(a,b)$
• 传递性：如果$(a,b)R(c,d)$和$(c,d)R(e,f)$，则$(a,b)R(e,f)$

等价类：设$(a,b)\in E$，记$\frac ab=C_{(a,b)}=\{(c,d)|\in E,(c,d)R(a,b)\}$为$(a,b)$的等价类

设商集E/R是由(a,b)的等价类构成的集合，$E/R=\{\frac ab|(a,b)\in E\}$
定义E/R的加法与乘法如下：

$$\frac ab+\frac cd=\frac {ad+bc}{bd}$$ $$\frac ab\cdot \frac cd=\frac {ac}{bd}$$
E/R构成一个域，称为整环A的分式域

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理想和商环

定义：R是一个环，I是R的子环
如果对任意的$r\in R$和对任意的$a\in I$，都有$ra\in I$，称I为左理想；如果都有$ar\in I$，则称I为右理想；如果I同时为左理想和右理想，则称I为理想

平凡理想：{0}和R

充要条件：环R的非空子集I是左（右）理想$\Leftrightarrow$

• 对任意的$a,b\in I$，$a-b\in I$
• 对任意的$r\in R,a\in I$，都有$ra\in I(ar\in I)$

多个左（右）理想的交集也是左（右）理想。

设${A_j}_{j\in J}$是环R中包含X的所有左理想的集合，则称$\bigcap_{j\in J}A_j$为由X生成的左理想，记为$(X)$