Monty Hall问题的理论解释及验证

1 蒙提霍尔问题的由来

蒙特霍尔问题亦称为三门问题（英文：Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙蒂·霍尔。

这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车或者是奖品，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车或奖品，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会。—换门的话，赢得汽车的机率是2/3。

这条问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

2 思考，推导与程序实现}

2.1 起因

有幸在第十六周的课上作为志愿者参与到了著名的“三门问题”的讨论中来，在讲台上略经思考，我便匆匆做出了如下判断，并自以为正确，“主持人开关门这一动作并不影响会影响最终选择，反正都是在两扇门里选一个，既然主持人这么好心，排除了一只羊， 那么选择到羊和车的概率就肯定是1/2没错了。”殊不知此时的我再一次在讲台上“想当然耳”，认真地说出了错误答案，实在是羞愧。下课后我拿起纸笔，参照基本的贝叶斯公式，在纸上认真的推导了一下整个计算过程。最终得出了正确的答案，“当然要换”，如果参赛者相比于羊，更倾向于开走一辆免费的汽车。

2.2 数学推导过程

贝叶斯公式如下：

$$P(A,B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) \tag{1}$$
由于本实验含有三个事件，故三事件(暂用A,B,C表示)贝叶斯公式如下:
$$P(A,B,C)=P(A|B,C)\cdot P(B,C)=P(B|A,C)\cdot P(A,C)\\=P(C|A,B)\cdot P(A,B)=P(A,B|C)\cdot P(C)=P(B,C|A)\cdot P(A)=P(A,C|B)\cdot P(B) \tag{2}$$
定义符号:
${C_i}$:车在$i$号门后
${X_i}$:参赛者选择了第$i$号门
${O_i}$:主持人打开第i号门\现在假定，参赛者选择一号门。在这一条件下，主持人在车辆分别位于1，2，3号门时打开3号门的概率如以下三式所示：
$$P(O_3|C_1,X_1)=\frac{1}{2}\tag{3}$$
$$P(O_3|C_2,X_1)=1\tag{4}$$
$$P(O_3|C_3,X_1)=0\tag{5}$$
易知，若参赛者不改变原来的选择，则获得汽车概率为$\frac{1}{3}$(已假定参赛者选择一号门)，现在主持人打开3号门，门内是山羊，此时车在2号门内的概率与参赛者更改选择获得汽车的概率等同，即“车在2号门内”与“参赛者更改选择获得汽车”是同一事件，可用下式表示：
$$P(C_2|O_3,X_1)=\frac{P(C_2,O_3,X_1)}{P(O_3,X_1)}\\=\frac{P(O_3|X_1,C_2)\cdot P(X_1,C_2)}{P(O_3,X_1)}\tag{6}$$
其中
$$P(X_1,C_2)=\frac{1}{3}\tag{7}$$
$$P(O_3,X_1)=\frac{1}{2}\tag{8}$$
可得结果
$$P(C_2|O_3,X_1)=\frac{2}{3}\tag{9}$$
即更改选择获得汽车的概率为$\frac{2}{3}$。

2.3 多门问题的简单推导和说明

设想，当门为四个时，门后有一辆车和三只羊，那么仿照式(6)写出如下公式：

$$P(C_2|O_3,O_4,X_1)=\frac{P(C_2,O_3,O_4,X_1)}{P(O_3,O_4,X_1)}\\=\frac{P(O_3,O_4|X_1,C_2)\cdot P(X_1,C_2)}{P(O_3,O_4,X_1)}\tag{10}$$
其中，
$$P(X_1,C_2)=\frac{1}{4}\tag{11}$$
$$P(O_3,O_4,X_1)=\frac{1}{3}\tag{12}$$
可得结果
$$P(C_2|O_3,O_4,X_1)=\frac{3}{4}\tag{13}$$
即在有四扇门，一车三羊的情况下，按照原先制定的游戏规则，参赛者更改选项赢得车的概率为$\frac{3}{4}$.

三门情况下更改选项赢得车的概率为$\frac{2}{3}$，四门情况下概率为$\frac{3}{4}$，这样美丽的概率数字不禁让我联想，N门情况下赢得车的概率是否就是$\frac{N-1}{N}$呢？
其实不难想通，如老师课上所说，在一万扇门的情况下，随机开一扇门获得车的概率仅仅为$0.01%$。“哦，原来这并不是一个可以忽略主持人开门动作的概率游戏”(内心OS)。下一节中，我会通过几行Python代码对这个问题进行模拟，从统计的角度来验证我的猜测是否正确。
以下是python代码的运行结果,

以下是实现代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Dec 31 01:33:07 2018
@author: XJwang
"""
from random import*
t=100000                    #设定试验次数为十万次
first_choice=0
change_choice=0
print('请输入门的个数：');
k = int(input());
for i in range(1,t+1):       #循环一万次
   m=1                      #观众选择一号门
   n=randint(1,k)           #随机生成1-k代表藏有汽车的门号，
   #每一个概率都为1/3
   if m==n:                 #不换门,即第一次
     first_choice+=1
   else:                    #换门
     change_choice+=1
print("保持，中奖几率为：{:.6f},更改，中奖几率为：{:6f}".format(first_choice/t,change_choice/t))

可见，模拟出的概率可以验证第二节中提出的假设。