学习笔记·线性代数（三）

线代启示录

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在这篇文章里，我们简单的阐述一下矩阵以及行列式。

矩阵的几何意义

首先先从点的旋转开始讲起。

对于平面上的一个点$(x,y)$，可以知道它与$x$轴的夹角，假设为$\alpha$，和到原点的距离$k$

所以说，我们有

$$\begin{cases}x=k\cos\alpha\\y=k\sin\alpha\end{cases}$$

那么先要将它逆时针旋转$\theta$弧度，旋转后的点坐标是什么呢？

假设它为$(x^\prime,y^\prime)$，那么它与$x$轴的夹角为$\theta+\alpha$，而到原点的距离不改变，所以

$$\begin{cases}x^\prime=k\cos(\theta+\alpha)\\y^\prime=k\sin(\theta+\alpha)\end{cases}$$

拆开一下

$$\begin{cases}x^\prime=k\cos\theta\cos\alpha-k\sin\theta\sin\alpha\\y^\prime=k\sin\theta\cos\alpha+k\cos\theta\sin\alpha\end{cases}$$

代换一下

$$\begin{cases}x^\prime=x\cos\theta-y\sin\theta\\y^\prime=x\sin\theta+y\cos\theta\end{cases}$$

如果是向量$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$旋转$\theta$弧度到$\begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix}$呢？

于是就要引出矩阵这一定义了。

接着是它的运算。定义矩阵与向量的乘法为

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$$

于是刚刚的问题就可以这样解决啦qwq

$$\begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

由此可见，矩阵与向量的乘法本质是对向量进行变换。

接着讲矩阵的几何意义。

首先先摆出来：矩阵的本质是线性变换！！！

为什么呢？我们来看一下。

以矩阵$\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$为例来看一下。

考虑这个矩阵把平面变成了什么样子的。我们不用考虑整个平面，而是考虑它的一组基底。这里用$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$作为平面的基底。

那么有

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$

所以说，变换后的空间的一组基底为$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$

那么线性变换又是什么呢？

只有旋转和缩放的一个或组合变换叫线性变换（平移叫仿射变换）

讲了旋转，那么缩放对应的矩阵又是什么呢？

假设要将向量$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$缩放$k$倍，则要构造矩阵$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，使得

$$\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$$

所以，有

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$$

观察敏锐的人可以发现上面那个例子的矩阵所对应的线性变换其实是两个基本线性变换的复合：先顺时针旋转$\frac{\pi}{4}$弧度，再放大到原来的$\sqrt{2}$倍。也就是说，将线性变换后的空间用于另一个线性变换。

既然我们之前说过，将向量进行线性变换是矩阵乘向量，那将线性变换与另一个信息包括的复合就是矩阵乘矩阵啊qwq

于是给出矩阵乘法的代数表达

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}$$

然而，将向量进行线性变换是将向量写在右边，那么将待进行线性变换的矩阵进行线性变换也是要将待线性变换的矩阵写在右边。

于是，我们来检验一下。将矩阵写出来，有

$$\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&0\\0&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$$

这是什么回事！

其实，我们在旋转的时候，