@LiuYongJie 2016-12-18T13:15:55.000000Z 字数 1912 阅读 333

Ex_13 Chapter 6 Problem6.12: The realistic string problem

刘永杰
2014级材料物理
2014301020094

1.背景

$\qquad$ 对于波的运动，我们有波动方程:

$\frac{∂^2y}{∂t^2}=c^2\frac{∂^2y}{∂x^2}$

$\qquad$ 这个波动方程对于不同种类的波都是适用的，只需要把对x的求二次偏导相应修改一下即可。在本文中我只考虑一维弦上的波动。y代表弦上各点相对于其平衡位置的位移，x代表各点在弦上的坐标，t代表时间，c代表波在弦上的传播速度。

$\qquad$ 垂直方向运动方程:

$ρ△x\frac{d^2y}{dt^2}=Tsinθ_{i+1}-Tsinθ_i \qquad \qquad (1)$

$\qquad$ 当

$△x$ 极小趋近于0时，我们有

$△x=dx$

$\qquad sinθ≈tanθ=\frac{∂y}{∂x} \qquad \qquad\qquad\qquad (2)$

$\qquad$ 此时(1)式可化为：

$\qquad \frac{∂^2y}{∂t^2}=\frac{T}{ρ}\frac{∂^2y}{∂x^2}=c^2\frac{∂^2y}{∂x^2} \qquad \qquad \qquad (3)$

$\qquad$ 同样,如果我们考虑摩擦,垂直方向运动的方程:

$\qquad \frac{∂^2y}{∂t^2}=c^2(\frac{∂^2y}{∂x^2} -εL^2\frac{∂^4y}{∂x^4})\qquad \qquad$

$\qquad$ 在数值方法中,我们重写方程:

$\frac{y(i,n+1)+y(i,n-1)-2y(i,n)}{(△t)^2}≈c^2[\frac{y(i+1,n)+y(i-1,n)-2y(i,n)}{(△x)^2}] \qquad (5)$

$\qquad$ 可解得递推关系：

$\qquad y(i,n+1)=2[1-r^2]y(i,n)-y(i,n-1)+r^2[y(i+1,n)+y(i-1,n)] \qquad (6)$

$\qquad$ 式中

$r=c\frac{△t}{△x}$ . 一般地, 我们令

$r=1$ 方便解方程

$\qquad$ 在realistic string中，方程的解变为：

$y(i,n+1)=[2-2r^2-6εr^2M^2]y(i,n)-y(i,n-1)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad+r^2[1+4εM^2]·[y(i+1,n)-y(i-1,n)]$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-εr^2M^2[y(i+2,n)+y(i-2,n)]\qquad\qquad\qquad\qquad(7)$

$\qquad$ 式中

$M=\frac{L}{△x}$

$\qquad$ 接下来我们考察初始时刻在弦上施加一个高斯型的干扰后，弦上波的传播情况。这里我们选择弦长为1m，c=300m/s，dx=0.01m，dt=dx/c。边界点固定。在弦上施加的干扰为 $y_0(x)=exp[-k(x-x_0)^2]$ , 其中 $x_0=0.3m，k=1000m^{-2}$ 。
$\qquad$ 弦上波的传播情况如下：【点击可获取绘图代码】
此处输入图片的描述
$\qquad$ 由图可知，高斯型的干扰变为了两个相反方向的波传播，这两个波的峰值为原干扰的一半。且当其传播到了边界点时，波峰变为波谷，波谷变为波峰，这直接对应于物理中的半波损失，即波从光疏介质传播到光密介质时相位会减少180°