【译】近邻算法

凸优化

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介绍

定义

令$f:R^n\mapsto R\cup\lbrace+\infty\rbrace$是一个闭的适当的凸函数，也就是说其上镜图

$$\operatorname{epi}f=\{(x,t)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}|f(x)\le t\}$$ 是非空闭凸集。$f$的有效域为：
$$\operatorname{dom}f=\{x\in\mathbb{R}^n|f(x)<+\infty\}$$ 即，使$f$取有限值的点的集合。
$f$的近邻算子$\mathbb{prox_f}:\mathbb{R}^2\mapsto\mathbb{R}^n$定义为：
$$\mathbb{prox_f}(v)=\underset{x}{\arg\max}(f(x)+(1/2)||x-v||_2^2)$$ 其中$||.||_2$是通常的欧几里得范数。上式右端求最小值的函数是强凸函数，且存在使其取得有限值的点，因此，存在唯一的使其取最小值的。
下面再介绍一下经常更为常见的近邻算子的形式:
$$\mathbb{prox_f}(v)=\underset{x}{\arg\min}(f(x)+(1/2\lambda)||x-v||_2^2)$$ 其中，$\lambda>0$，上式也称为带参数的近邻算子。
以后，在没有特别说明的情况下，当提到一个函数的近邻算子时，我们都假设该函数是一个适当的闭的凸函数，并且取值可能为无穷大。

解释

待续。。。