[学习笔记] 理解线性代数 - 向量&向量空间

Maths

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向量指一个同时具有大小和方向的几何对象

向量

为了与点的表示方法区分，惯用的方法是把这对数竖着写，然后用方括号括起来，比如在一个二维空间中：

关于向量的运算，先看最简单的加法，在学习这部分课程时这部分的计算规则十分简单，像这样：

$$\vec a = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$$

$$\vec b = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$$

$$\vec a + \vec b = \begin{bmatrix} 1 + 2 \\ 3 + (-1) \\ \end{bmatrix}$$

整个计算过程非常简单明了，但是仅仅是这样并不能在我的脑海中形成一个清晰的几何概念，仅仅是记住了一个计算规则。其实向量相加的意义非常易懂，就像这样：

把每个向量看作一种特定的运动，即在空间中朝着某个方向迈出一定距离。
向量的加法就可以这样理解：如果你先按照第一个向量运动，再按照第二个向量所描述的运动方式运动，其总体效果与你沿着这两个向量的和运动无异。

向量乘法：
其实就是向量的缩放，用于缩放向量的，被称为 标量
向量与标量的相乘就是将向量中的每个分量与标量相乘。

向量的张成
所谓向量的张成指的是一些向量的所有线性组合构成的一个集合。这显然是一个线性空间，其一组基为该向量组的极大无关组。

比如现在在一个三维线性空间中有：

$$\vec v = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

$$\vec w = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$$

那么这两个向量的所有线性组合：

$$a \vec v + b \vec w$$

所能表示的所有向量所组成的集合就是向量 v 和 w 的张成空间。可以很容易的发现这个集合所构成的是一个平面空间。

你有多个向量，且可以移除其中一个而不减小张成的空间时，称它们是 线性相关 的

另一种表述方法，就是其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其他向量张成的空间中

如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度，它们就被称为 线性无关 的

定义：空间的一组基的严格定义是这样的，张成该空间的一个线性无关向量的集合

那么很容易得出这组向量的特征
首先这组向量中的任何一个向量都无法用其余向量所表示（因为任一个向量都不在另外所有向量所张成的空间中，换一种说法就是一组向量所张成的空间就是这组向量所能表示的所有向量的集合）

换个角度来想，对于一个特定空间，能够张成这个空间的向量集合可以有很多组

线性无关定义：
当且仅当 a=b=c=0 时，a[v] + b[w] + c[u] = [0] 成立，则 [v], [w], [u]是线性无关的

其中任意一个向量都不在其他向量张成的空间中，也就是对所有的 a 和 b， [u] = a[v] + b[w] 均不成立

这二者描述是等价的！

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因为是临时的学习笔记，有的地方写的比较混乱，后续会把内容再做整理总结。