目录

实验1 空间解析几何与向量代数 1

matrix创建矩阵和向量 1

plot::Arrow2d和plot::Arrow3d向量的图形对象 1

norm计算向量的模 2

linalg::normalize计算向量的方向余弦 2

linalg::scalarProduct计算两向量的数量积 2

linalg::angle计算两向量的夹角 2

linalg::crossProduct计算两个3维向量的向量积 2

plot::Plane绘制平面的图像 3

plot::Curve3d绘制空间直线或曲线的图像(生成点向式参数方程) 3

plot::Curve3d绘制空间直线或曲线的图像(生成参数方程) 3

solve求解线性方程组 3

plot::Rotate3d绕给定直线旋转定角所得的图像 3

plot::XRotate,plot::ZRotate绕坐标轴旋转所得的图像 3

plot::Function3d显函数的曲面图像 4

plot::Implicit3d隐函数方程的曲面图像 4

plot::Surface参数方程的曲面图像 4

RGB色彩模式 4

例 1.1 设平面向量 a = （4 1) , b = （1 3) ,计算和绘图演示 a + b 5

例 1.2 已知空间中两点 M 1和 M 2计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦和方向角 6

例 1.3 已知空间中三点 M (1, 1, 1) 、 A(2, 2, 1) 和 B(2, 1, 2) ,计算向量 MA 和 MB 的夹角、数量积和向量积,绘制 MA 和 MB 以及 MA ́ MB 的图像 6

例 2.1 求平面 x - y + 2 z = 6 和 2 x + y + z = 5 的夹角,并绘制示意图 7

例 2.2 求直线 x + y - z - 1 = 0, x - y + z + 1 = 0 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线的方程,并绘制示意图 8

例 3.1 绘制顶点在原点,旋转轴为 z 轴,半顶角为PI/6的圆锥面的图像 10

探究单叶双曲面和双叶双曲面的图像 12

1. 求与两平面 x - 4 z = 3 和 2 x - y - 5 z = 1 的交线平行且过点 ( - 3, 2, 5 )的直线的方程,并绘制示意图. 22

2.求过点 ( 1, 2, 1 ) 而与两直线 x - y + z - 1 = 0, x + 2 y - z + 1 = 0 和 x - y + z = - 2, 2 x - y + z = - 3平行的平面的方程,并绘制示意图. 23

3. 求直线 3 x - y - 2 z = 9, 2 x - 4 y + z = 0 在平面 4 x - y + z = 1上的投影直线的方程,并绘制示意图. 24

4. 在例3.1圆锥面的实验第2步中,不用命令plot::ZRotate和plot::Rotate3d,而是用命令plot::Surface和plot::Curve3d绘制动画,演示 xOz 坐标面上的直线 z =3 x 绕 z 轴旋转一周始终落在圆锥面 z = 3 x + 3 y 之上. 26

5. 探究椭圆抛物面 = 2 z 的图像. 27

6. 探究双曲抛物面的图像 32

实验2 二元函数的图像 38

二元函数的图像上的等值线 38

二元参数方程的图像上的等值线 38

plot::Function3d创建二元函数 z = f(x, y) 的图像图形对象 38

plot::Surface二元参数方程的图像 39

plot::Implicit2d等高线(等值线) 40

例 1.1 绘制函数 z = sinx - y 的图像,探究图形属性Mesh和Submesh的功能,在图像上显示 x 线、y 线和 z 等值线 40

例 1.2 绘制函数 z =ln(x+e^y)/(sqrt(x^2+y^2))的图像，使用Submesh和AdaptiveMesh改善图像 46

例 1.3 绘制函数 z = y^2/x 的图像 48

例 2.1 设 f(x,y)=x^2+x+y^2-y/(x+y)绘制函数图像. 55

1. 绘制二元函数 z = x y 的图像上的 x 线、y 线、z 等值线及其对应的等高线 67

2. 绘制以下二元函数的图像:(1) z = ln y - 2 x + 1 ;(2)z=1/(sqrt(x-y))+1/(sqrt(x+y)) 70

实验3偏导数和全微分 86

diff计算多元函数表达式的偏导数 88

D计算多元函数映射的偏导数 88

plot::Plane创建三维空间中的平面的图形对象，适用于点法式平面方程 89

plot::Arrow3d创建三维空间中的向量的图形对象 89

计算函数 f(x,y)=-x^2/4-y^2/6的偏导数,并解释在点 (- 1, 1) 处偏导数的几何意义 89

绘图演示函数 f (x, y) = - x^2/4-y^2/6在点 ( - 1, 1) 处的全微分和切平面 95

设 f (x, y) =...绘图说明 f (x, y) 在点 (0, 0) 不可微 95

1. 计算函数 f (x, y) = lnx + y 的偏导数,并绘图解释在点 (0, 1) 处偏导数的几何意义 98

2. 绘图演示函数 f (x, y) = x y 在点 (0, 0) 处的全微分和切平面 99

3. 根据全微分的定义验证 f （x, y）=-x^2/4-y^2/6在 R 上可微性 102

4. 根据切平面的定义验证平面x/2-y/3-z+5/12=0是曲面z=-x^2/4-y^2/6在点P(-1,1,-5/12)处的切平面 102

5. 设 f (x, y) =...验证在点(0,0)连续/不连续/不可微 104

6. 设 f (x, y) =...根据切平面定义验证z=0处的切平面 108

实验4 多元复合函数和隐函数 111

隐函数定理 111

隐函数组 112

diff计算多元函数表达式的偏导数 113

D计算多元函数映射的偏导数 113

plot::Implicit2d创建二元方程 Fx, y = 0 的隐函数图像的二维图形对象 113

Jacobian计算函数组 f 1 , f 2 , 1⁄4, f m 关于变元 x 1 , x 2 , 1⁄4, x n 的雅克比矩阵 114

用命令det和jacobian计算多元向量值函数函数组 f 1 , f 2 , 1⁄4, f n 关于变元 x 1 , x 2 , 1⁄4, x n 的雅可比式 114

例 1.1 计算复合函数的导数:设 z = e sinv ,而 u = x y, v = x + y 计算导数 114

例 1.2 计算复合函数的导数:设 w = f x + y + z, x y z , f 具有二阶连续偏导数,计算导数 115

例 1.3 设 u = f x, y 具有二阶连续偏导数,做极坐标变换 x = r cost, y = r sint ,求证 ... 116

例 2.1 求由方程 e + x y - e = 0 确定的隐函数的导数并求由方程 e + x y - e = 0dxdxy确定的曲线上切点的 x 坐标为 x = - 2 的切线的方程,绘制隐函数曲线、切线和切点的图像 116

例 2.2 分别求曲线 C = { (x, y, z) | x + y + z = 4, x + y + 2 y = 0 }在点 P 1  - 1, - 1,2  、 P 2 0,0, 2和 P 3 0, - 2, 0 的切线和法平面方程,并绘制示意图 120

例 2.3 x = 1, y = 1, z = 1, w = 4 满足方程组{ 2 x + y + z - w z = 0, x + y + 2 z + w z - 8 = 0 },¶z ¶z ¶w ¶w验证该方程组在此点附近能确定隐函数组{ z = zx, y, w = wx, y },并计算偏导数 126

验证 z = lnx + y 满足拉普拉斯方程 130

验证 y = e2- k n t2¶  y .sinn x 满足热传导方程 130

一堆证明 131

利用参数方程绘制例2的两个曲面及其交线 C 的图像;将 C 视作动点按照参数方程运动的轨迹,求出动点经过 P 3时切向量和法平面 131

. 求曲线 C = { (x, y, z) | z = x + y , x + 2 y + 3 z = 20 }在点 P - 1, -  , 7  的切线33和法平面方程,并绘制示意图 135

7. 求曲面 x + y + z - 3 x y z = 0 在点 P1, 1, 1 的切平面和法线方程,并绘制示意图. 137

8. 计算由下列方程组确定的隐函数组 u = f x, y, v = gx, y 的偏导数 138

9. 已知 - u + v + x + y + z = 1, u + 2 v + x - y + z = 21,计算偏导数 139

plot::Inequality用来创建由不等式确定的平面点集的图形对象满足不等式(组)的平面点集 144