逻辑回归

机器学习

---

1. Sigmoid 函数

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

$$g\prime(z)=g(z)(1-g(z))$$

---

2. 假设函数

$$h_\theta(x)=g(\theta^{T}x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}}$$

逻辑回归将线性回归的预测值转换成范围是(0,1)的概率值，主要用于二分类。

$$\begin{aligned} P(y=1|x;\theta)&=h_\theta(x)\\ P(y=0|x;\theta)&=1-h_\theta(x)=h_\theta(-x) \end{aligned}$$

输出$Y$的对数几率是输入$x$的线性函数：

$$\log{\frac{P(y=1|x;\theta)}{P(y=0|x;\theta)}}=\theta^{T}x$$

分离超平面：$\theta^{T}x=0$

• 当$\theta^{T}x>0$时，预测为1；
• 当$\theta^{T}x<0$时，预测为0。

---

3. 损失函数

$$J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\left[y^{(i)}\log{h_{\theta}(x^{(i)})}+(1-y^{(i)})\log{(1-h_{\theta}(x^{(i)}))}\right]}$$

$y^{(i)}$为真实类别0或1，$h_{\theta}(x^{(i)})$为类别1的预测概率。

---

4. 梯度下降法

更新第$j$个$\theta$：

$$\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)$$

$$\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\left(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)}\right)}x^{(i)}_j$$

---

5. 用极大似然估计推导损失函数

综合表示条件概率：

$$P(y|x;\theta)=h_\theta(x)^y(1-h_\theta(x))^{1-y}$$

似然函数：

$$L(\theta)=\prod_{i=1}^{m}{P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)}=\prod_{i=1}^{m}h_\theta(x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$$

对数似然函数：

$$l(\theta)=\log{L(\theta)}=\sum_{i=1}^{m}{\left[y^{(i)}\log{h_{\theta}(x^{(i)})}+(1-y^{(i)})\log{(1-h_{\theta}(x^{(i)}))}\right]}$$

$$J(\theta)=-\frac{1}{m}l(\theta)$$

将最大化$l(\theta)$转化为最小化$J(\theta)$。

---

6. 正则化

$$J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\left[y^{(i)}\log{h_{\theta}(x^{(i)})}+(1-y^{(i)})\log{(1-h_{\theta}(x^{(i)}))}\right]+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}{\theta_j^2}}$$

梯度下降
$j=0$时，即偏置：

$$\theta_0:=\theta_0-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\left(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)}\right)}x^{(i)}_0$$

$j>0$时，即权重：

$$\theta_j:=\theta_j-\alpha\left[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\left(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)}\right)}x^{(i)}_j+\frac{\lambda}{m}\theta_j\right]$$

---

7. 多分类

$$P(Y=k|x)=\frac{e^{\theta_k^{T}x}}{1+\sum_{k=1}^{K-1}{e^{\theta_k^{T}x}}}, (k=1,2,...,K-1)$$

$$P(Y=K|x)=\frac{1}{1+\sum_{k=1}^{K-1}e^{\theta_k^{T}x}}$$