康托展开和逆康托展开

算法

康托展开

详述

康托展开的公式是

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 

其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。

意义

康托展开表示的是当前排列在n个不同元素的全排列中的名次。比如213在这3个数所有排列中排第3。

例子

例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。

n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!

关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？

a4 = "D" 这个元素在子数组["D","B","A","C"]中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C"是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。

a3 = "B" 这个元素在子数组["B","A","C"]中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。

a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。

a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）

所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

逆康托展开

详述

如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？

意义

就是根据某个排列的在总的排列中的名次来确定这个排列。

例子

因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

代码实现

# author: jtusta
# contact: root@jtahstu.com
# site: http://www.jtahstu.com
# software: RubyMine
# time: 2017/6/8 14:35
class Cantor
  @@fac = Array.new 25,0
  def initialize(n)
    @@fac[0] = 1
    for i in 1..n-1
      @@fac[i] = @@fac[i-1]*i
    end
  end
  # 康托展开，根据给出的数组，求第多少大
  def cantor(list,len)
    ans = 0
    for i in 0..len-1
      cnt = 0
      for j in i+1..len-1
        if list[j]<list[i]
          cnt += 1
        end
      end
      ans += cnt*@@fac[len-i-1]
    end
    ans
  end
  # 逆康托展开，根据是多少大，找出数组是多少
  def cantorInver(n,len)
    subset = [] # 当前剩余的子集
    res = []
    for i in 1..len
      subset << i
    end
    i = len
    while(i>0)
      r = n%@@fac[i-1]
      t = n/@@fac[i-1]
      n = r
      subset = subset.sort()
      res << subset[t]
      subset.delete(subset[t])
      i -= 1
    end
    res
  end
  # 生成全排列
  def fullPermutation(len)
    endf = @@fac[len]-1
    for i in 0..endf
      print i,'->',cantorInver(i,len)
      puts
    end
  end
end
cantor = Cantor.new(20)
list = [3,2,4,1]
len = 4
p cantor.cantor(list,len)
p cantor.cantorInver(cantor.cantor(list,len),len)
p cantor.fullPermutation(4)

执行结果

/usr/bin/ruby -e $stdout.sync=true;$stderr.sync=true;load($0=ARGV.shift) /Users/jtusta/Documents/Code/Ruby/algorithm/cantor.rb
15
[3, 2, 4, 1]
0->[1, 2, 3, 4]
1->[1, 2, 4, 3]
2->[1, 3, 2, 4]
3->[1, 3, 4, 2]
4->[1, 4, 2, 3]
5->[1, 4, 3, 2]
6->[2, 1, 3, 4]
7->[2, 1, 4, 3]
8->[2, 3, 1, 4]
9->[2, 3, 4, 1]
10->[2, 4, 1, 3]
11->[2, 4, 3, 1]
12->[3, 1, 2, 4]
13->[3, 1, 4, 2]
14->[3, 2, 1, 4]
15->[3, 2, 4, 1]
16->[3, 4, 1, 2]
17->[3, 4, 2, 1]
18->[4, 1, 2, 3]
19->[4, 1, 3, 2]
20->[4, 2, 1, 3]
21->[4, 2, 3, 1]
22->[4, 3, 1, 2]
23->[4, 3, 2, 1]
Process finished with exit code 0