第十二次作业

电磁场 SOR Jacobi Gauss-Seidel method

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摘要

计算了Exercise5.3中电容器的电磁场分布，并比较了三种计算方法的计算速度

背景

在无电荷的空间中，电势的分布服从拉普拉斯方程

$$\frac{∂^2V}{dx^2}+\frac{∂^2V}{dy^2}+\frac{∂^2V}{dz^2}=0$$
解之可以得到
$$V(i,j,k)=\frac{1}{6}[V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k) +V(i,j-1,k)+V(i,j,k+1)+V(i,j,k-1)]$$
考虑如下事实
$$E_x=-\frac{∂V}{∂x}$$
$$E_x(i,j)≈-\frac{V(i+1,j)-V(i-1,j)}{2Δx}$$
对Jacobi 方法
$$V_{new}(i,j)≈\frac{1}{4}[V_{old}(i+1,j)+V_{old}(i-1,j)+V_{old}(i,j+1)+V_{old}(i,j-1)]$$
对SOR方法
$$V_(i,j)≈\frac{1}{4}[V(i+1,j)+V(i-1,j)+V(i,j+1)+V(i,j-1)]$$
$$ΔV(i,j)≈V^*(i,j)+V_{old}(i,j)$$
$$V_{new}(i,j)≈αΔV(i,j)+V_{old}(i,j)$$
α的最好选择 $$α≈\frac{2}{1+π/L}$$

正文

Exercise5.3电容器周围电势场的求解

利用 Gauss-Seidel方法求解电容器附近的电势，结果如下
代码

Exercise5.7不同算法下迭代速度的比较

代码

如图所示，红色的点代表的是Jacobi方法，蓝色的点代表的是 Gauss-Seidel 方法，黄色的点代表 SOR 方法，可以明显看出SOR方法的计算速度更快

结论

1.计算速度SOR method > Gauss-Seidel method > Jacobi method
2.给出了Exercise5.3的相关结果

致谢

吴雨桥的部分代码
GUO Xiao的部分代码