哈夫曼编码

预备知识：
二叉树：二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构

满二叉树：除叶子结点外的所有结点均有两个子结点

完美二叉树：所有叶子节点的深度均相同，且是一颗满二叉树

完全二叉树：完全二叉树从根结点到倒数第二层满足完美二叉树，最后一层可以不完全填充，其叶子结点都靠左对齐。

树的带权路径长度：树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度

最优二叉树：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也叫哈夫曼树

前缀编码：在一个字符集中，任何一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀。

示例：
满二叉树：

完美二叉树：

完全二叉树：

树的带权路径长度：

前缀编码：
0 ，10，110，1110

哈夫曼树：
哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。
树的带权路径长度记为WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

哈夫曼编码的步骤：
1、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
2.在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
3.从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
4.重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。

示例1：

示例2：
假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1
A : 5
B : 4
C : 3
D : 2
E : 1

第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3

虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树

其中各个权值替换对应的字符即为下图

所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

示例4：