MATLAB

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基础概论

• 第四代计算机语言
• 语言简单
• 计算功能强大
• 可视化功能强大，绘图功能强大，图像处理能力强大
• 可扩展性强、开放、扩充能力强
• 有很多现成工具

三大功能：

• 数学计算
• 可视化
• 程序设计

Simulink：类似于蓝图的可视化建模系统，基于MATLAB，可以自动生成代码

安装和使用

• 帮助命令 help
• 对于 $[12+2\times(7-4)]3^2]$，输入>>12+2*(7-4)\(3^2)
• 对于$f(x)$ 输入 >>x=? >>y=f(x) y=
• 换行在末尾加上四个....
• 用“↑”来重新显示语句

红色字体是错的

• 求方程的根：建立系数向量、建立系数矩阵、符号计算
• 积分计算：
• 绘图：plot、plot3
• 编程使用

符号运算

• 直接对于抽象的符号对象进行计算，获得问题的解析结果

• 符号计算的基本概念：

  • 相对于数值计算的概念，在MATLAB中是使用符号运算工具箱来实现的。
  • 不受误差困扰，计算可以给出完全正确的封闭解或者任意精度的数值解。
  • 指令比较简单，时间较长。
  • 数值运算必须要先对变量进行赋值，但符号计算不需要，运算结果会世界以标准是符号形式表达

• 符号计算的一般使用:

  • 建立符号变量 >>syms a b c x;
  • 输入方程 f=
  • 把方程解出来 solve(f)
  • 得到答案 ans=

软件不止一种

符号对象和表达式的创建

• sym 用来建立单个符号量，写法是 符号变量名=sym('符号字符')
• 使用 whos 命令可以了解到变量的特性
• 使用 syms 一次可以定义多个符号变量，写法是 syms 符号变量名1 符号变量名2 ...，该语句没有进行赋值，只是创建了变量。
• 使用 sym 函数建立表达式 ，例如 u=sym(x*y)，或者不写 sym 也可以
• 创建矩阵使用 sym ，例如 A=sym([a,2*b;3*x,0]) 矩阵使用方括号 [] ，中间换行是 ;
• 运算符号是完全不变的

符号表达式的化简

• 合并同类项 collect()，针对合并 $v$ 的话 collect(R,v) ,否则就是将所有的都合并
• 展开 expand()
• 化简 simplify()
• 因式分解 factor() ，会使用行向量去表示
• 反函数 finverse() ，一般需要指定变量
• 复合函数 compose() ，一般是用后替代前
• digits(d) 确定精度为d位的有效数字
• vpa(a,d) 输出精度是d位的有效数字
• double() 转换为双精度变量
  

符号微积分

• 极限
  
  • 使用 limit 函数
  • limit(f,a) 默认 x 趋近于 a 的时候极限，不写a会默认趋向于0
  • limit(f,'y',inf) ，是y趋近于正无穷
  • limit(f,'x',a,'left') 是x从左边趋近于a，右侧同理

• 微分
  - 使用 diff 函数
  - diff(s) 默认一阶导数
  - diff(s,3) 求三阶导数
  - diff(s,x,2) 对x求二阶导数

  • 积分
    
    • 使用 int函数
    • int(s) 是不定积分
    • int(s,t) 对t不定积分
    • int(s,t,a,b) 上下限分别是 a b
      

  • 级数：

    • 级数求和使用 symsum(s,v,n,m) s是通项表达式，v求和变量，n,m分别是开始项和末项
    • 泰勒级数 taylor(f,v,a,name,value) 函数f按变量展开为泰勒级数，展开到第n项，n默认为6，a是在a处展开，'order'写在name处

  • 代数方程：（solve是不能解微分方程的！）

  • 使用slove函数
  • 默认情况是 slove(f) 默认是解 $f=0$ 的情况
  • 或者定义 ep1=a+b+c==3

  • 方程组是 f=[a+b==2;a+c==3;b+c==4];[a,b,c]=solve(f)

  • 微分方程：Dy表示y的一阶导数，D2y表示二阶导

  • 符号常微分方程用dslove('表达式','初值','求导对象')
  • 如果忽略初值就表示求通解，如果没有标注求导对象默认为t

命令可以嵌套

数值计算

• 对于数值进行计算，以有限精度的数字为基本的操作元素
• 数值计算是定义在数值数组的基础上，在计算前要定义变量进行赋值

• 存在误差，速度较快

• 数据的表达方式：十进制

• 复数：用特殊的变量 $'i'、'j'$ 表示
• 变量命名规则同C++

固定变量

• pi 圆周率
• eps 最小值
• ans 结果的变量名字
• flops 浮点运算数
• inf 无穷大
• NaN 不定量

向量与矩阵

• 向量的生成：
  - a=m:p:n 生成步长为p的均匀等分行向量，m开头，n结尾
  - linspace(m,n,s)（生成m~n中的s个等分的行向量）或 logspace(m,n,s)（生成$10^m$ ~ $10^n$ 之间按照对数等分的s个行向量（s默认100）
• 矩阵的生成：
  
  • 直接输入，例如 A=[1,2;3,4]
  • 特殊矩阵包括：[] 空矩阵、eye(n) 单位矩阵、ones(n,m n*m的纯1矩阵、zeros（n,m)纯0矩阵、rand(n,m) [0,1]随机的矩阵、randn(n,m) 标准正态分布的随机矩阵、randi([imin,imax],n,m)生成的是[imin,imax]之间的随机矩阵
  • 矩阵的变换：diag 生成对角矩阵、B = repmat(A,m,n)，指将矩阵 A 复制 m×n 块，即把 A 作为 B 的元素，B 由 m×n 个 A 平铺而成。 、reshape改变形状，比如把8*1换成4*2（一列一列排的）(使用方法是reshape(原矩阵,行数,列数)）、flipud以水平中线为对称轴做镜面、fliplr以垂直中线为对称轴做镜面、rot90逆时针旋转90°。
  • 矩阵元素的应用：A(i,j) 表示矩阵A的第i行第j列元素，A(2:3,3:4)2~3行，3~4列，隔行则为 A(1:2:5,3:4)，如果是 B(:,[1,2]) 这种情况，代表列是第二列（事实上[1,2]可以换成任意[x,2]，都一样），如果是A([a,b],,[c,d])会是与A(a:b,c:d)类似的结果。
    
  • 矩阵的运算：包括加、乘法、除法（包括左除、右除）、点乘点除（是指要形状相同的矩阵，对应元素的计算）在计算正常数值的时候也需要使用点乘！
    
  • 矩阵的其他计算：rank矩阵的秩、ret矩阵行列式的值、trace矩阵的对角线元素之和、[V,D]=eig(A)矩阵的特征值和特征向量（AV=VD)、[R,ci]=rref(A)阶梯矩阵和行向量。
  • 运算规则：
    
    • 数组运算规则包括：（1）形状相同的数组，体现为数组对应元素的运算；（2）标量和数组之间，体现为数组每一个元素和标量的运算；（3)初等函数和数组的运算体现为初等函数对每一个元素的运算；
    • sum函数：如果 A 是向量，则 sum(A) 返回元素之和。
      
      • 如果 A 是矩阵，则sum(A) 将返回包含每列总和的行向量。
      • 如果 A 是多维数组，则 sum(A)沿大小不等于 1 的第一个数组维度计算，并将这些元素视为向量。此维度会变为 1，而所有其他维度的大小保持不变。
      • S = sum(A,'all')计算 A 的所有元素的总和。
      • S = sum(A,dim) 沿维度 dim 返回总和。例如，如果 A 为矩阵，则 sum(A,2) 是包含每一行总和的列向量。（1是形成行向量，2是列向量）
      • mean 函数：指对于一个数组第一个维度不是一的维度做平均
      • 同上还有std（标准差）、min、max、var（方差）等。
    • 逻辑运算中，非为~，不等于为~=，其他同c++

数值积分

• 精度可控的数值积分
  
  • 积分函数使用int的情况下，结果可能需要通过vpa进行约束
  • 积分函数使用integral(fun,x_min,x_max)的情况下，fun需要真的是一个“函数”，即需要使用@句柄定义和使用的“函数”。简单的定义方式如下：
    
• 函数的极值
  大部分情况下，求函数的特殊点的系统函数都需要fun是一个“函数”，可以通过
  1.重新编写并保存一个函数
  
  2.加@(x)设定（分别是系统函数和自己设定的函数）
  
  3.加inline('')内联解决（不能嵌套，返回值必须只有一个）
  
  
  • 梯形积分 cumtrapz，输入的是一串等间距的函数值，或一个包含了xy的矩阵
  • 函数最小值fminbnd(fun,l,r)，其中，fun需要是一个“函数”，否则无法通过，同时也需要进行画图判断。
  • 函数零点fzero(fun,st) 也同样需要将fun化为函数，同时需要作图得到起始点。
  • 函数极值fminsearch(fun,x0)的使用方法如下：
  • 一般，上述几个函数都可以返回[ans_x,ans_f]

数值微分

• ode45函数计算微分方程的解：[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)其中，tspan是指时间区间,y0为初始条件
  
  • 一阶微分：
    
  • 二阶微分:
    
    

多项式的计算

• 多项式的系数，乘时使用 conv(a,b)，注意第一个不能是0，除时使用[p,r]=deconv(a,b)p是商，r是余数的系数。
• Ploy2sym(q,’x’)将多项式系数向量q写成容易读的多项式
• 多项式拟合，p=polyfit(x,y,n) 求x，y数组所给数据的n阶拟合多项式系数向量p
• 最小二乘法
  

概率分布

• 二项分布
  
  • pk=binopdf(k,N,p) 事件A发生k次的概率
  • Fk=binocdf(k,N,p) 事件A发生次数不大于k次的概率
    N：独立重复试验总次数；p：每次试验中结果A发生的概率；k：在N 次试验中结果A发生的次数。
• 正态分布
  
  • px=normpdf(x,Mu,Sigma)服从 $N(u,σ2)$分布的随机变量取值x的概率密度
  • Fx=normcdf(x, Mu,Sigma)服从$N(u,σ2)$分布的随机变量取值不大于x的概率密度
• disttool 概率函数分布工具

图形技术

绘图功能和特点

• 离散数据和离散函数可视化
• 高层绘图函数
• 面向对象的图形设计，句柄绘图

二维图形指令 plot

• （会打开一个图形窗口，用直线连接数据点，自动缩扩坐标轴，自动标注）
• 会清除之前的命令图形
• plot(x) x是一组向量，x为纵坐标，其下标为横坐标
• plot(x,y) x自变量，y函数值，如果y是n*m的矩阵，且x长为n，则以x为自变量，画m条曲线
• plot(x1,y1,x2,y2) 连着画多条线
• plot后可以加入控制线的特征的量：对于颜色/线型/标点类型可以直接标注，例如'r:*'代表了红色点线*标注；对于标注的特征/线宽等则需要说明，例如'lineWidth',2和'MarkerSize',10
  
• hold on; 可以保持上一个不被清除，hold off;才会停止。
• plot(x,y,'s','线名'，'线宽'...) 其中's'是开关必须加上，和设置没关系（如果是上文中的特殊标记是不需要加's'的）
• subplot 子图分割命令，格式 subplot（m,n,p） m,n,q分别是行、列、图的编号，编号从左到右从上到下，如果1张图需要多个位置，可以挑选准确的位置然后使用[]选择，例如[2 4]。也可以采用定位左下角和右上角的坐标的方法去确定图形位置，图窗的长宽均视为1，并取左下角为$(0,0)$点，例如subplot('position',[0.2,0.1,0.6,0.40])
• figure(n)创建窗口函数，n为窗口顺序号，使用的时候要先进行声明在第几个窗口画图。

• 图形标注：

  • title 标题
  • x(y)label('text'，’property','文本属性'...) 轴标注
  • text 在图形上指定位置加标注（这个指定位置的坐标是表上的坐标，不能标到表外）
  • gtext 在图形任意位置加标注，使用方法是gtext('')，然后进行鼠标选点
  • grid on(off)打开/关闭网格线
  • legend(string1,string2,...) 文字标注，图例说明，可以用 Location 参数将其放在想要的位置，或者使用Pos对图例的位置作出设置和调整：
    
    • 0 = 自动把图例置于最佳位置（ 和图中曲线重复最少）；
    • 1 = 置于图形窗口的右上角（ 缺省值）；
    • 2 = 置于图形窗口的左上角；
    • 3 = 置于图形窗口的左下角；
    • 4 = 置于图形窗口的右下角；
    • -1 = 置于图形窗口的右侧（ 外部）。
    • 去掉的时候使用legend off
    • NumColumns 属性指定图例的列数，例如legend({'cos(x)','cos(2x)','cos(3x)','cos(4x)'},'NumColumns',2)
    • title(lgd,'My Legend Title')可以为标注添加标题
  • 文字标注可以加上一些文字类型

  • 文字的调整：

    • \bf：采用的字体加粗。
    • \it：采用的字体为斜体。
    • \rm：采用标准形式。
    • \fontname {fontname}：设置文字的字体。
    • \fontsize {fontsize}：设置字体的大小。

    • \color {colorname}：对字体的颜色进行设置

    • \lineWidth、\lineStyle、\MarkerSize 等

    • 特殊字符
      

• 坐标轴调整命令axis([xmin,xmax,ymin,ymax])

  • 冻结manual/自动auto [自动的轴]
  • tight 与数据范围完全相等/ equal每个坐标轴单位长度一样 / imagetight+equal / square调整单位长度使之成为方形 / vis3d 冻结比例/ normal还原默认
• box on(off)坐标轴封闭/开启命令

特殊二维绘图函数，可查询help specgraph

• bar 表示绘制直方图
• polar表示绘制极坐标图
• hist表示绘制统计直方图
• stairs 表示绘制阶梯图
• stem表示绘制火柴杆图
• rose表示绘制统计扇形图
• comet表示绘制彗星曲线
• errorbar表示绘制误差棒图
• compass表示复数向量图(罗盘图)
• feather 表示复数向量投影图(羽毛图)
• quiver 表示向量场图
• area 表示区域图
• pie 表示饼图
• convhull表示凸壳图
• scatter 表示离散点图
• plotmatrix表示散点图
• yyaxis可以画出有两个y轴的图形
• semilogx画出来的函数中x是取对数的
• ginput命令用于显示鼠标处的坐标点
• fill命令用于绘制二维多边形并进行填色，使用方法fill(x,y,'颜色')

三维图形的绘制 plot3（可查询help graph3d）

• 三维曲面绘图命令可分为平面网格点的生成、在平面网格基础上绘制三维网格及对三维表面进行处理三个步骤。
• meshgrid(x,y)用于生成平面网格点的坐标

• fill3与fill使用方法相同

• 三维网格图 mesh(z) z为n*m矩阵，xy坐标为元素下标

  • 平面网格点的生成 meshgrid
• 三维曲面图 surf(x,y,z)，surfc带等高线的曲面图
• contour(Z,n)绘制n条等高线，如果有返回值就是等高线坐标
  
  • Clabel(c)用于给等高线加标注

• fsurf(fun,取值范围,'其他要求','')其中，fun必须是一个“函数”，并且需要注意的是不能是一个inline函数，会报错，需要使用@

• 色图设定函数 colormap([R,G,B])，其中有部分预设如下：

- 在图像中还有对其的修饰
- shading interp根据小方块四角的值差补过度点的值确定颜色
- shading flat去掉黑色线条，根据小方块的值确定颜色

- 'EdgeColor','none'是可以将边框颜色去掉的
- hidden on(off)是开关透视效果的
- view(az,el) 用于调整视角，az是方位角，el是俯视角

程序设计

M文件

• M文件是实现指令的命令集文件，有命令式和函数式
• 新建脚本 → 编辑M文件 → 运行时直接在命令窗口输入文件名即可
• 在word里面运行：>>notebook-setup 在word里面寻找加载项
• 当写好文件之后需要把文件夹添加到路径
• 文件名需要是函数名，以便调用

一些基本语句

• 函数的开头需要标注fuction（如果是脚本则不需要），之后写返回值的变量名=函数名（自变量），最后需要加上end，与C++相类似，如果可以使用全局变量把结果传递出函数，也可以不写返回值是什么变量。
• nargin 表示所用函数输入变量的个数，可以在函数内部判断输进了几个函数，也可在函数外查询最多能输进去几个函数。
• nargout是检测有多少个输出，该函数只能在函数内部使用
• clear 释放内存
• global 全局变量的声明，在定义和引用的时候都需要声明，（在函数里面定义了的 global 变量，在外面想引用需要先声明。

• logical 逻辑运算 A(A>0)=1可以直接将A中大于0的变成1

• for 循环，写成
  for index=start:increment:end
...
end
  MATLAB 的 for 循环中可以使用矩阵，i=A的话是每次取一列进行循环。

• if 语句 （break）也可以使用
  if ....
...
else
...
end
• switch语句，同C++
• echo on/echo off 显示/隐藏命令（尤其是M文件里面的命令，对调试有帮助）
• x=input('提示语句') 来输入x
• pause 暂停用
• tic秒表计时器，会记录下当前时间；toc秒表停止器，可以得到使用了多长时间；使用方法是st_time=tic; used_time=toc(st_time);

基本数据类型

• 整形/浮点
• 逻辑数据，在matlab里面，如果涉及到逻辑判断，会自动转为逻辑数据，逻辑数据不能参与一部分（尤其是函数）的运算。

• 结构数组（结构体）与C++的结构体类似。

• cell 单元格数组，需要使用花括号 {} ，里面可以放各种变量类型，类似于变换了的结构体，只是不需要自己定义里面有什么，可以直接使用。

• 在MATLAB中，变量是不需要先定义再使用的
• 函数句柄，类似于指针 使用@标注