@xiaoxiang 2015-04-09T15:34:37.000000Z 字数 9994 阅读 3644

第一章光的电磁场理论

物理光学

（请忽略好多不是很标准的数学符号，老师后来告诉我这样子是不标准的……）

内容提要：

回顾电动力学，矢量运算及场论基础
麦克斯韦方程组
时谐电磁场及其复数形式
电磁场的边值关系（不同于边界条件！）
波动方程
电磁场的能量

$\DeclareMathOperator{\Re}{Re}%取实部函数$

矢量运算与场论基础

矢量运算：

点积(内积)

a ⃗ \cdot b ⃗ = a b cos θ, 0 < θ < π

$\vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos θ ,0<θ<π$

叉积(外积)

| a ⃗ \times b ⃗ | = a b sin θ, 0 < θ < π

$| \vec{a} × \vec{b} | = ab \sin θ , 0<θ<π$

a ⃗ \times b ⃗ = ∣ ∣ ∣ ∣ i a x b x j a y b y k a z b z ∣ ∣ ∣ ∣

$\vec{a} × \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

所以有 $\vec{a} × \vec{a} = 0$

场：

设有一个区域V(有限或无限)，对于这个域内每一点M，如果都对应着一个确定的物理量，这时我们说确定了这个物理量的一个场；

如果确定的物理量是数量，则称此场称为标量场；若所确定的物理量是矢量，则称此场为矢量场。

例如:

温度场、电位场都是标量场
力场、速度场都是矢量场

`梯度`

标量场f(x,y,z)在某点M(x,y,z)的梯度是一个矢量，记作：

\nabla ⃗ f (x, y, z) = \partial f \partial x x 0 \to + \partial f \partial y y 0 \to + \partial f \partial z z 0 \to

$\vec∇f(x,y,z)={ ∂ f \over ∂ x} \vec{x_0}+{ ∂ f \over ∂ y} \vec{y_0}+{ ∂ f \over ∂ z } \vec{z_0}$
微分算符∇(也称为哈密顿算符,在LaTeX公式中为\nabla)，定义为

\nabla ⃗ = \partial \partial x x 0 \to + \partial \partial y y 0 \to + \partial \partial z z 0 \to

$\vec∇={ ∂ \over ∂ x} \vec{x_0}+{ ∂ \over ∂ y} \vec{y_0}+{ ∂ \over ∂ z } \vec{z_0}$

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个位置的最大的变化率。

`散度`

矢量函数F(M) 在P点通量对体积的变化率:

lim Δ V \to 0 \oint S ⃗ A ⃗ \cdot d S ⃗ Δ V = \nabla ⃗ \cdot A ⃗

$\lim _{ΔV→0} {\oint_\vec S \vec A ⋅ d\vec S \over ΔV}=\vec ∇ ⋅ \vec A$

其中 $\oint_\vec S \vec A ⋅ d\vec S$ 就是通量。
该函数在座标轴上的投影为P、Q、R，定义为微分算符∇与矢量F的标量积, 记作：

\nabla ⃗ \cdot F ⃗ = (\partial \partial x x 0 \to + \partial \partial y y 0 \to + \partial \partial z z 0 \to) \cdot (P x 0 \to + Q y 0 \to + R z 0 \to) = \partial P \partial x + \partial Q \partial y + \partial R \partial z

$\begin{align} \vec\nabla \cdot \vec F &=({ ∂ \over ∂ x} \vec{x_0} + { ∂ \over ∂ y} \vec{y_0} + { ∂ \over ∂ z } \vec{z_0})\cdot(P\vec{x_0} + Q \vec{y_0} + R \vec{z_0}) \\ &= { ∂ P \over ∂ x} +{ ∂ Q \over ∂ y} +{ ∂ R \over ∂ z } \end{align}$

矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。>0表示发散源,<0汇聚源，=0无源。

`旋度`

矢量函数F(M)旋度：大小为环流面密度的最大值，方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向

lim Δ S \to 0 \oint l ⃗ A ⃗ \cdot d l ⃗ Δ S = (\nabla ⃗ \times A ⃗) \cdot n^= (\nabla ⃗ \times A ⃗) n

$\lim _{\Delta S \rightarrow 0}{\oint_\vec l \vec A \cdot d\vec l \over \Delta S}=(\vec \nabla \times \vec A ) \cdot \hat n = (\vec \nabla \times \vec A)_n$

其中 $\oint_\vec l \vec A \cdot d\vec l$ 就是环流
旋度定义为微分算符∇与矢量F的矢量积，即:

\nabla ⃗ \times F ⃗ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x 0 \to \partial \partial x P y 0 \to \partial \partial y Q z 0 \to \partial \partial z R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = (\partial R \partial y - \partial Q \partial z) x 0 \to - (\partial R \partial x - \partial P \partial z) y 0 \to + (\partial Q \partial z - \partial P \partial y) z 0 \to

$\begin{align} \vec\nabla \times \vec F &= \begin{vmatrix} \vec{x_0} & \vec{y_0} & \vec{z_0} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix} &= ({\partial R \over \partial y}-{\partial Q \over \partial z})\vec{x_0}-({\partial R \over \partial x}-{\partial P \over \partial z})\vec{y_0}+({\partial Q \over \partial z}-{\partial P \over \partial y})\vec{z_0} \end{align}$

矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。
表示曲线、流体等旋转程度的量。

矢量分析基本公式:

\nabla ⃗ \times (\nabla ⃗ f) \nabla ⃗ \cdot (\nabla ⃗ \times F ⃗) \nabla ⃗ \cdot (\nabla ⃗ f) \nabla ⃗ \times (\nabla ⃗ \times F ⃗) = = = = 0 \dots \dots 梯 度 场 必 是 无 旋 场 0 \dots \dots 旋 度 场 必 是 无 散 场 \nabla ⃗ 2 f \nabla ⃗ (\nabla ⃗ \cdot F ⃗) - \nabla ⃗ 2 F ⃗

$\begin{eqnarray} \vec\nabla \times (\vec\nabla f) & = & 0 \cdots\cdots梯度场必是无旋场\\ \vec\nabla \cdot(\vec\nabla \times \vec F) & = & 0\cdots\cdots旋度场必是无散场\\ \vec\nabla \cdot (\vec\nabla f) & = & {\vec\nabla}^2f\\ \vec\nabla \times(\vec\nabla \times \vec F) & = & \vec\nabla(\vec\nabla \cdot \vec F) - {\vec\nabla}^2 \vec F\\ \end{eqnarray}$

矢量积分定理:

高斯定理: 是空间区域上三重积分与其边界上曲面积分之间关系的定理。

∭ V \nabla ⃗ \cdot F ⃗ d V = \iint S ⃗ F ⃗ \cdot d σ ⃗

$\iiint_V \vec\nabla \cdot \vec F \,dV = \iint_\vec S \vec F \cdot d\vec \sigma$

斯托克斯定理：定理是关于曲面积分与其边界曲线积分之间关系的定理。

\iint S ⃗ \nabla ⃗ \times F ⃗ d σ ⃗ = \int l ⃗ F ⃗ \cdot d l ⃗

$\iint_\vec S \vec\nabla \times \vec F \, d\vec\sigma = \int_\vec l \vec F \cdot d\vec l$

亥姆霍兹定理:

矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场性质的重要度量。换言之，一个矢量场所具有的性质，可完全由它的散度和旋度来表明；一个标量场的性质则完全可以由它的梯度来表明。亥姆霍兹定理就是对矢量场性质的总结说明。
无旋场的散度不能处处为零，同样，无散场的旋度也不能处处为零，否则矢量场就不存在。
任何一个矢量场都必须有源，矢量场的散度对应发散源，矢量场的旋度对应旋涡源。

设一个矢量场既有散度又有旋度，则它可以表示成为一个无旋场分量和无散场分量之和，即 $A=A_1+A_2$
其中无旋场分量 $A_1$ 的散度不等于0，设为 $\rho$ ,无散场分量不等于0，设为 $\vec J$ ,则

$\nabla ⃗ \cdot A ⃗ = \nabla ⃗ \cdot (A 1 \to + A 2 \to) = \nabla ⃗ \cdot A 1 \to = ρ$ $\vec\nabla \cdot \vec A = \vec\nabla \cdot (\vec{A_1}+\vec{A_2})=\vec \nabla \cdot \vec{A_1} = \rho$
$\nabla ⃗ \times A ⃗ = \nabla ⃗ \times (A 1 \to + A 2 \to) = \nabla ⃗ \times A 2 \to = J ⃗$ $\vec\nabla \times \vec A = \vec\nabla \times (\vec{A_1}+\vec{A_2})=\vec\nabla \times \vec{A_2}=\vec J$

当一个矢量场的两类源在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。
因为场是由它的源引起的，所以场的分布由源的分布决定。现在矢量的散度、旋度为已知，即源分布已确定，自然，矢量场分布也就唯一地确定。
研究任意一个矢量场都应该从散度和旋度两个方面去进行（或通量和环量）。
矢量场基本方程的微分形式：
$\nabla ⃗ \cdot A ⃗ \nabla ⃗ \times A ⃗ = = ρ J ⃗$ $\begin{eqnarray} \vec\nabla \cdot \vec A & = &\rho \\ \vec\nabla \times \vec A & = & \vec J \end{eqnarray}$
矢量场基本方程的积分形式：
$\oint S ⃗ A ⃗ \cdot d S ⃗ \oint l ⃗ A ⃗ \cdot d l ⃗ = = \int V ρ d V \int S ⃗ J ⃗ d S ⃗$ $\begin{eqnarray} \oint_\vec S \vec A \cdot d\vec S & = & \int_V \rho \, dV \\ \oint_\vec l \vec A \cdot d\vec l & = & \int_\vec S \vec J \, d\vec S \end{eqnarray}$
亥姆霍兹定理非常重要，它总结了矢量场的基本性质，是研究电磁场理论的一条主线。无论是静态场，还是时变场，都要研究场矢量的散度、旋度以及边界条件
源和场的关系

源	梯度	散度	旋度
标量源	保守场	有势场	无旋场
$\rho$	$\oint_\vec l \vec A \cdot d\vec l = 0$	$\vec A = \vec\nabla u$	$\vec\nabla \times \vec A = 0$
矢量源	连续场	无散场	有旋场
$\vec J$	$\vec\nabla \cdot \vec A = 0$	$\vec\nabla \cdot \vec A = 0$	$\vec\nabla \times \vec A = \vec J$

麦克斯韦方程组

微 分 形 式 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \nabla ⃗ \times H ⃗ = J ⃗ + \partial D ⃗ \partial t ⃗ \nabla ⃗ \times E ⃗ = - \partial B ⃗ \partial t \nabla ⃗ \cdot B ⃗ = 0 \nabla ⃗ \cdot D ⃗ = ρ (1) (2) (3) (4) \iint S ⃗ (\nabla ⃗ \times F ⃗) d S ⃗ = \oint l ⃗ F ⃗ \cdot d l ⃗ \leftarrow \to - - - - - - - - - - - - - - - - - - ∭ S ⃗ \nabla ⃗ \cdot F ⃗ d V ⃗ = \iint S ⃗ F ⃗ \cdot d S ⃗ \leftarrow \to - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 积 分 形 式 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \oint l ⃗ H ⃗ \cdot d l ⃗ = - \int S ⃗ (J ⃗ + \partial D ⃗ \partial t \cdot d S ⃗) \oint l ⃗ E ⃗ \cdot d l ⃗ = - \int S ⃗ (\partial B ⃗ \partial t ⃗) \cdot d S ⃗ \int S ⃗ B ⃗ \cdot d S ⃗ = 0 \int S ⃗ D ⃗ \cdot d S ⃗ = Q (1) (2) (3) (4)

$\begin{array}{lll} %最上面的一小行 \,\,\,微分形式 & &\,\,\,积分形式\\ %微分形式 \begin{cases} \vec\nabla \times \vec H = \vec J + {\partial \vec D \over \partial \vec t} & (1)\\ \vec\nabla \times \vec E = -{\partial \vec B \over \partial t} & (2)\\ \vec\nabla \cdot \vec B = 0 & (3)\\ \vec\nabla \cdot \vec D = \rho & (4) \end{cases} & %推导条件 \begin{array}[]{} \underleftrightarrow{\iint_\vec S (\vec\nabla \times \vec F)d\vec S = \oint_\vec l \vec F \cdot d \vec l}\\ %下面的两行是为了空出来中间的位置 \,\\ \,\\ \underleftrightarrow{\iiint_\vec S \vec\nabla \cdot \vec Fd\vec V = \iint_\vec S \vec F \cdot d \vec S}\\ %实在是没有办法，不支持\oiint ,只能用\iint代替了，见谅 \end{array} & %积分形式 \begin{cases} \oint_\vec l \vec H \cdot d\vec l=-\int_\vec S (\vec J + {\partial \vec D \over \partial t} \cdot d\vec S) & (1)\\ \oint_\vec l \vec E \cdot d \vec l = - \int _ \vec S({\partial \vec B \over \partial \vec t})\cdot d \vec S & (2)\\ \int_\vec S \vec B\cdot d \vec S = 0& (3)\\ \int_\vec S \vec D \cdot d \vec S = Q&(4) \end{cases} \end{array}$

方程（1）-推广的安培环路定理，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场；

方程（2）-电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场；

方程（3）-磁通连续性定理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线；

方程（4）-高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。

麦克斯韦方程组揭示的物理意义!

时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。
电场和磁场互为激发源，相互激发。
电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体—电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量；
麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，且已被事实所证明。

说明：静态场只是时变场的一种特殊情况。

一 般 场 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \nabla ⃗ \times H ⃗ = J ⃗ + \partial D ⃗ \partial t ⃗ \nabla ⃗ \times E ⃗ = - \partial B ⃗ \partial t \nabla ⃗ \cdot B ⃗ = 0 \nabla ⃗ \cdot D ⃗ = ρ (1) (2) (3) (4) \partial D ⃗ \partial t = 0, \partial B ⃗ \partial t = 0 - \to - - - - - - - - - - - - 静 态 场 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \nabla ⃗ \times H ⃗ = J ⃗ \nabla ⃗ \times E ⃗ = 0 \nabla ⃗ \cdot B ⃗ = 0 \nabla ⃗ \cdot D ⃗ = ρ (1) (2) (3) (4)

$\begin{array}{lll} %最上面的一小行 \,\,\,一般场 & &\,\,\,静态场\\ %一般场 \begin{cases} \vec\nabla \times \vec H = \vec J + {\partial \vec D \over \partial \vec t} & (1)\\ \vec\nabla \times \vec E = -{\partial \vec B \over \partial t} & (2)\\ \vec\nabla \cdot \vec B = 0 & (3)\\ \vec\nabla \cdot \vec D = \rho & (4) \end{cases} & %推导条件 \underrightarrow{ {\partial \vec D \over \partial t}=0,\,{\partial\vec B \over \partial t}=0 } & %静态场 \begin{cases} \vec\nabla \times \vec H = \vec J& (1)\\ \vec\nabla \times \vec E = 0 & (2)\\ \vec\nabla \cdot \vec B = 0 & (3)\\ \vec\nabla \cdot \vec D = \rho & (4) \end{cases} \end{array}$

电场与磁场之间的相互激发可以脱离电荷和电流而发生。电场与磁场相互联系，相互激发，时间上周而复始，空间上交链重复，这一过程预示着波动是电磁场的基本运动形态。
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的总规律。

电磁场基本量与辅助量

关于力的，是基本量

$\vec E$ ——电场强度： $\vec F=q\vec E$
$\vec B$ ——磁感应强度（磁通量密度）： $\vec F=q\vec v \times\vec B$

关于源的，是辅助量

$\vec D$ ——电感应强度（电通量密度）： $\iint_\vec S \vec D \cdot d \vec S=q$
$\vec H$ ——磁场强度： $\oint_\vec l \vec H \cdot d\vec l=I$

物质方程

$\vec E$ 和 $\vec B$ 是基本量， $\vec D$ 和 $\vec H$ 是辅助量； $\vec E$ 和 $\vec D$ 之间、 $\vec B$ 和 $\vec H$ 之间的定量关系由物质属性决定。

磁化

$\vec D = \varepsilon \vec E = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec E$

极化

$\vec B = \mu \vec H = \mu_0\mu_r\vec H$

导电

$\vec J=\sigma \vec E$

线性光学

各向同性介质
各向异性介质

非线性光学

时谐电磁场及其复数形式

时谐场：随时间按正弦或余弦规律变化的场矢量
单色光波的电磁场是时谐场
任意复杂多色光波是许多不同单色光波的线性叠加（后面讨论）

E⃗ (r⃗ ,t)=Re{[x^E~x(r⃗ )+y^E~y(r⃗ )+z^E~z(r⃗ )]e−jωt}E~i(r⃗ ,t)=Ei(r⃗ )ejϕ(r⃗ ),i=x,y,z

$\vec E(\vec r,t)=\Re\{ [\hat x \tilde E_x(\vec r)+\hat y\tilde E_y(\vec r)+\hat z \tilde E_z(\vec r)] e^{-j\omega t}\} \\ \tilde E_i(\vec r,t)=E_i(\vec r)e^{j \phi (\vec r)},\,i=x,y,z$

复数形式的优点

时间和空间因子分离
简化运算

E ⃗ (r ⃗, t) = Re [E ⃗ (r ⃗) e j ϕ (r) e - j ω t] E ⃗ (r ⃗, t) = E^(r) e - j ω t

$\vec E(\vec r,t)=\Re[\vec E (\vec r)e^{j\phi(r)}e^{-j\omega t}] \\ \vec E(\vec r,t)=\hat E(r)e^{-j\omega t}$

简谐波场的

E ⃗ (r ⃗, t) = E ⃗ (r ⃗) e j φ (r) e - j ω t

$\vec E(\vec r,t)=\vec E(\vec r)e^{j\varphi(r)}e^{-j\omega t}$
复振幅

E^(r ⃗) = E ⃗ (r ⃗) e j φ (r)

$\hat E(\vec r)= \vec E(\vec r) e^{j\varphi(r)}$

场矢量,标量均可以用复振幅方式处理

E ⃗ (r ⃗, t) = Re [E ~ (r ⃗) e - j ω t] D ⃗ (r ⃗, t) = Re [D ~ (r ⃗) e - j ω t] H ⃗ (r ⃗, t) = Re [H ~ (r ⃗) e - j ω t] B ⃗ (r ⃗, t) = Re [B ~ (r ⃗) e - j ω t] ρ (r ⃗, t) = Re [ρ ~ (r ⃗) e - j ω t]

$\vec E(\vec r,t) =\Re[ \tilde E(\vec r)e^{-j\omega t}] \\ \vec D(\vec r,t) =\Re[ \tilde D(\vec r)e^{-j\omega t}] \\ \vec H(\vec r,t) =\Re[ \tilde H(\vec r)e^{-j\omega t}] \\ \vec B(\vec r,t) =\Re[ \tilde B(\vec r)e^{-j\omega t}] \\ \,\\ \rho(\vec r,t) =\Re[ \tilde \rho(\vec r)e^{-j\omega t}] \\$

Maxwell方程组的复数形式

略

电磁场的边值关系

在两种介质的分界面上电磁场量通常是不连续的
在没有面电荷和面电流的情况下B和D的法向分量以及H和E的切向分量则是连续的

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n ⃗ \times (H ⃗ 2 - H ⃗ 1) = J ⃗ s n ⃗ \times (E ⃗ 2 - E ⃗ 1) = 0 n ⃗ \cdot (B ⃗ 2 - B ⃗ 1) = 0 n ⃗ \cdot (D ⃗ 2 - D ⃗ 1) = σ ⃗ s J ⃗ s = 0, σ ⃗ s = 0 - \to - - - - - - - - - - ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n ⃗ \times (H ⃗ 2 - H ⃗ 1) = 0 n ⃗ \times (E ⃗ 2 - E ⃗ 1) = 0 n ⃗ \cdot (B ⃗ 2 - B ⃗ 1) = 0 n ⃗ \cdot (D ⃗ 2 - D ⃗ 1) = 0

$\begin{array}[]{} \begin{cases} \vec n \times(\vec H_2-\vec H_1)=\vec J_s\\ \vec n \times(\vec E_2-\vec E_1)=0\\ \vec n \cdot(\vec B_2-\vec B_1)=0\\ \vec n \cdot(\vec D_2-\vec D_1)=\vec \sigma_s \end{cases} & \underrightarrow{ \vec J_s=0, \vec \sigma_s=0} & \begin{cases} \vec n \times(\vec H_2-\vec H_1)=0\\ \vec n \times(\vec E_2-\vec E_1)=0\\ \vec n \cdot(\vec B_2-\vec B_1)=0\\ \vec n \cdot(\vec D_2-\vec D_1)=0 \end{cases} \end{array}$

四个边值关系不独立，前两个可以导出后两个。求解边界问题时，只用两个即可

电磁场的能量

能流矢量（坡印亭矢量、功率流密度矢量）:

S ⃗ (r ⃗, t) = E ⃗ (r ⃗, t) \times H ⃗ (r ⃗, t)

$\vec S (\vec r,t)=\vec E (\vec r,t)\times\vec H (\vec r,t)$

单位时间、单位面积上流过的功率(实为功率流密度矢量);
量纲: $W/m^2$

平均坡印廷矢量-光强：

S ⃗ a = 1 T \int T 0 S ⃗ (r ⃗, t) d t

$\vec S_a={1 \over T}\int_0^T \vec S (\vec r,t)\,dt$

电磁波动方程

——电磁场量随时间和空间的变化规律

波动方程(一维形式)：

\partial 2 φ \partial x 2 - 1 v ⃗ 2 \partial 2 φ \partial t 2 = 0

${\partial^2 \varphi \over \partial x^2}-{1 \over {\vec v}^2}{\partial^2 \varphi \over \partial t^2}=0$

电磁波：

\nabla ⃗ 2 E ⃗ - ε μ \partial 2 E ⃗ \partial t 2 = 0

${\vec\nabla}^2\vec E-\varepsilon\mu{\partial^2 \vec E \over \partial t^2}=0$
令

|v⃗ |=1εμ√ $|\vec v|={1 \over \sqrt{\varepsilon\mu}}$ ,则有波动方程：

\nabla ⃗ 2 E ⃗ - 1 v ⃗ 2 \partial 2 E ⃗ \partial t 2 = 0

${\vec\nabla}^2\vec E-{1 \over {\vec v}^2}{\partial^2 \vec E \over \partial t^2}=0$
同理有：

\nabla ⃗ 2 H ⃗ - 1 v ⃗ 2 \partial 2 H ⃗ \partial t 2 = 0

${\vec\nabla}^2\vec H-{1 \over {\vec v}^2}{\partial^2 \vec H \over \partial t^2}=0$
电场和磁场以波动形式在空间传播，传播速度为v；解的形式取决于边界条件。（好好预习或者复习“数学物理方法”去）

亥姆赫兹方程（复振幅形式）：

\nabla ⃗ 2 E ⃗ - 1 v ⃗ 2 \partial 2 E ⃗ \partial t 2 = 0 \partial 2 E ⃗ \partial t 2 = (- j ω) 2 E ⃗ - \to - - - - - - - - - - - \nabla ⃗ 2 E ⃗ + ε μ ω 2 E ⃗ = 0 同 理 ： \nabla ⃗ 2 H ⃗ + ε μ ω 2 H ⃗ = 0

$\begin{array}[]{} {\vec\nabla}^2\vec E-{1 \over {\vec v}^2}{\partial^2 \vec E \over \partial t^2}=0 & \underrightarrow{ {\partial^2 \vec E \over \partial t^2}=(-j\omega)^2\vec E } & {\vec\nabla}^2\vec E+\varepsilon\mu \omega ^2\vec E=0 \end{array}\\ 同理： {\vec\nabla}^2\vec H+\varepsilon\mu \omega ^2\vec H=0$

研究电磁波的传播问题都可归结为给定边界条件和初始条件下求波动方程的解。电磁波场在空间中的分布，每一种可能的形式称为一种波模

自由空间<---->平面简谐波
开放腔 <---->高斯光束
光纤 <---->贝赛尔函数

电磁波的波函数

波动：同一个物理量在不同空间点重复出现的现象

一维波动方程：

\partial 2 ϕ ( z , t ) \partial z 2 - 1 v ⃗ 2 \partial 2 ϕ ( z , t ) \partial t 2 = 0

${\partial^2\phi(z,t)\over \partial z^2} - {1 \over {\vec v}^2}{\partial^2\phi(z,t) \over \partial t^2}=0$

通解（达朗贝尔解）：

Φ (z, t) = f (t - z v) + f (t + z v), v = 1 ε μ - - \sqrt

$\Phi (z,t)=f(t-{z \over v})+f(t+{z \over v}),v={1 \over \sqrt {\varepsilon\mu}}$

t1时刻：

f (t 1 - z 1 v) = F

$f(t_1-{z_1 \over v})=F$

t2时刻：

f ((t 1 + Δ t) - z 1 + v Δ t v) = F

$f((t_1+\Delta t)-{z_1 +v\Delta t\over v})=F$
随时间t沿z轴正向传播。

达朗贝尔解是线性叠加的：
任意两个解符合，它们的解相加生成的解也符合

第一章重点

Maxwell方程、物质方程
复振幅与Maxwell方程复数形式
边值条件
电磁能及能流密度矢量
波动方程