概率期望学习笔记

数学 学习笔记

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前置知识

数学常识-排列组合

定义

随机事件与样本空间

随机事件的特点：
1. 可以重复做的事情
2. 可以枚举出所有可能结果
3. 不可以预料出出现哪一个结果
随机事件的两种关系：
若事件C为A，B的积事件，根据乘法原理得：

$$C=A\cap B,P(C)=P(A\cap B)$$
若事件C为A，B的和事件，根据加法原理得： $$C=A\cup B,P(C)=P(A\cup B)$$
样本空间是随机事件的并集

随机变量

随机变量常用大写字母表示，如$X$，此时$P(X)$代表取到$X$的结果的随机事件出现的概率，且常用$p[i]$与$x[i]$代表编号为i的随机事件的概率与权值（或结果）
1. 离散型随机变量：随机变量是有限的，如一般投一个骰子只有1,2,3,4,5,6这些结果
2. 连续性随机变量：随机变量是无限的，如跳高，你从起跳到落地所经过的高度是无限的

期望

公式：

$$E(X)=\sum p_i\cdot x_i$$
$$E(a\cdot X+b\cdot Y)=a\cdot E(X)+b\cdot E(Y)$$

正整数的期望公式：对于正整数随机变量$x$，它的期望值可以这样表示：

$$E(x)=\sum_{i=1}^{\infty}P(x\geqslant i)$$

证明：

$$E(x)=\sum_{i=1}^{\infty}P(x=i)\cdot i=\sum_{i=1}^{\infty}(P(x\geqslant i)-P(x\geqslant i+1))\cdot i\\=\sum_{i=1}^{\infty}P(x\geqslant i)\cdot i-P(x\geqslant i+1)\cdot i=\sum_{i=1}^{\infty}P(x\geqslant i)\cdot i-P(x\geqslant i)\cdot (i-1)=\sum_{i=1}^{\infty}P(x\geqslant i)$$

习题

洛谷

• 绿豆蛙的归宿
• 换教室
• 小魔女帕琪
• FAVDICE - Favorite Dice
• Collecting Bugs
• 红包发红包
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POJ

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• One Person Game

$\sum_{i=1}^n\frac{i+1}{C^i_n}$