Inertial Cannon Problem

计算物理作业
Student ID : 2013301020120

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问题背景

在地球表面上任一点处要发射一颗炮弹，打击地球表面一个目标。需要考虑重力，空气阻力，以及地球自转带来的科里奥利力的影响，计算出该炮弹发射时的速度大小及方向。

摘要

如果想要用计算机解决一个问题，那么就要先用数学语言来描述这个问题
本文采用欧拉法计算炮弹轨迹，在3维坐标系中计算比较各个因素对炮弹轨迹的影响，并计算出打击一个定点目标应该具备怎样的速度和方向

正文

实现原理

建立坐标系

$$以起始点为原点建立一个（东，天，北）（x,y,z）的正交坐标系$$
$$\vec{v}=\vec{v_x}+\vec{v_y}+\vec{v_z}$$
$$\vec{a}=\vec{g}+\vec{a_{co}}+\vec{a_{drag}}$$
$$\vec{g}=(0,-9.8,0)$$
$$\vec{a_{co}}=2\vec{\omega}\times\vec{v}$$
$$a_{drag}=\frac{-B_2v^2}{m}$$

欧拉方法计算轨迹

$$x_{i+1}=x_i+v_{x_i}\Delta t$$
$$y_{i+1}=y_i+v_{y_i}\Delta t$$
$$z_{i+1}=z_i+v_{z_i}\Delta t$$
$$\vec{v_{i+1}}=\vec{v_{i}}+(\vec{a_xh}+\vec{a_y}+\vec{a_z})*\Delta t$$
落点的修正
炮弹落点的高度是固定的，所以我们需要对炮弹落点位置进行修正
$$x_l=\frac{x_n+rx_{n+1}}{r+1}$$
$$z_l=\frac{z_n+rz_{n+1}}{r+1}$$
$$r=\frac{y_n-y_{target}}{y_{n+1}-y_{target}}$$
各因素的影响分析：
接下来的炮弹均以相同的速度（200,200,200）发射来比较不同模型下落点的位置
1.纯自由落体运动 ：落点坐标（8183.25863 ，0 ，8183.25863）
2.引入风阻： 落点坐标（6217.40764， 0 ，6217.40764）
3.引入北纬30度的科里奥利力+风阻：落点坐标（6219.07349， 0， 6198.19130）
4.考虑炮弹飞行中科里奥利力变化+风阻：落点（6219.08048，0， 6198.18876）
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分析以上结果可知：风阻对炮弹轨迹有极大影响；
北半球科里奥利力使飞行炮弹向右偏，偏离率约为3.2% 。实际应用中较远距离打击需要考虑。
同时考虑炮弹飞行中纬度的变化对科里奥利力的影响，发现仅会造成约0.001%的偏差，可以忽略
(该结果仅对该样本数据负责)

遍历方法计算初速度
由于三维坐标中的扫描较为麻烦，所以要分两步进行。
第一步：在不考虑科里奥利力的情况下进行扫描，类似于第六次作业中在平面下扫描的方法
第二步：引入科里奥利力，这里先做分析：
（6217.40764， 0 ，6217.40764）（6219.08048，0， 6198.18876）这两组坐标，第一个是没引入科里奥利力的情况，第二个是引入了科里奥利力的情况。
可见 x在增加，z在减少，北半球炮弹轨迹会偏右。因此在扫描时，我们要适当的减少vx,增加vz.

$$使用dv=(\frac{l-l_{target}}{1000})^2作为速度的步进函数得到以下图像$$
落点距离目标点随扫描过程变化曲线

分析：其一在距离远的时候distance缩减很快，在距离目标近的时候distance缩减很慢。有能节省时间，又提高了精确度。
其二，distance的极小值的发射速度，即我们应该要的初速度，但是其偏差似乎还有点大，我们需要对速度步进函数再小调整一下，以便更好的精确度。调整后的结果如下：

可见我们的调整后，极小值大幅降低，有了很好的效果。（调整思路较经验化，不多叙述）

计算结果分析

起点：北纬30度，武汉大学
终点相对坐标：（15000,500,20000）
计算出的初速度：（347.75202, 579.58670, 467.23283）
理论落点位置：（14996 ，500 ，19996）
误差距离：5.17m 相对误差：0.02%

代码实现

pyhton源码：CODE

致谢