排列组合

数学 排列组合

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)

典型问题如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己。等等……

定义

在组合数学，错排是指没有元素出现在自己原本位置的排列。即是说存在没有不动点的双射
$:S->S, $(i) != i, 任意 1<=i<=n。$(n)的值如下：（由n=1起：）
0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ...
例如有n封写好了的信，收件人不同，胡乱放入n个写了地址的信封中，寄出，求没有一个收件人收到他所应接收的信的概率。当n=4，在4! = 24个排列之中，只有9个是错排：
BADC, BCDA, BDAC,
CADB, CDAB, CDBA,
DABC, DCAB, DCBA,
所以有关概率为9/24 = 37.5%

递推公式

显然D(1)=0，D(2)=1。当n ≥ 3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1 ≤ k ≤ n-1 。 那么我们现在考虑第n位的情况。
当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为D(n-2)。
当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为D(n-1)。
所以当n排在第k位时共有D(n-2)+D(n-1)种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：
D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))

个人想法：当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为D(n-2)。当k不排在第n位时，假设k排在了第m位，则等价于去除k，n排在了第m位，所以为D(n-2)

至于通项公式的推导，比较复杂，详见：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98

//const int p = 1000000007;
//long long d[110];
d[1] = 0;
d[2] = 1;
for (int i = 3; i <= 100; i ++) d[i] = ((d[i-1] + d[i-2]) % p) * (i-1) % p;

错排概率

求错排概率可以用 dp 的方法：例 zoj 1619

//f[n][m] = f[n-m][0] / m!
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
double f[110][110];
int main() {
//    freopen("input.txt", "r", stdin);
    f[1][0] = 0;
    f[1][1] = 1;
    f[0][1] = 0;
    f[0][0] = 1;
    double sum, tp;
    for (int i = 2; i <= 100; i ++) {
        sum = 0.0;
        for (int j = 1; j <= i; j ++) {
            tp = f[i-j][0];
            for (int k = 2; k <= j; k ++) tp /= k;
            f[i][j] = tp;
            sum += tp;
        }
        f[i][0] = 1 - sum;
    }
    int n, m;
    while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
        printf("%.8f\n", f[n][m]);
    }
    return 0;
}

盒子放球

k个相同的球放入n个不同的盒子

每个盒子放球数 >=0

思路

假设n个盒子分别放x1,x2,x3...xn，则x1+x2+x3+...+xn=k，另yi=xi+1(1<=i<=n)，则yi>=1且y1+y2+...+yn=n+k，相当于求yi这个方程的解组数，可以看成插板问题，往n+k个物品中插入n-1个板，所以答案是C(n+k-1,n-1)=C(n+k-1,k)

/*
 *输入说明：k个相同的球放入n个不同的盒子
 *输入每行有两个正整数n和k
 /*
int com(int n, int m) {
    m = min(m, n - m);
    int res = 1;
    for (int i = 0, j = 1; i < m; i ++) {
        res *= n - i;
        while (j <= m && res % j == 0) {
            res /= j;
            j ++;
        }
    }
    return res;
}
int main() {
    int n, k;
    while (~scanf("%d %d", &n, &k)) {
        printf("%d\n", com(n+k-1, k));
    }
    return 0;
}

m个相同的球放入n个相同的盒子

每个盒子放球数>=0
POJ1664

const int maxn = 20;
int dp[maxn][maxn];//i个球放入j个盒子方法数
void init() {
    for (int j = 1; j <= 10; j ++) dp[0][j] = dp[1][j] = dp[j][1] = dp[j][0] = 1;
    for (int i = 2; i <= 10; i ++) {
        for (int j = 2; j <= 10; j ++) {
            if (i >= j) dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];
            else dp[i][j] = dp[i][i];
        }
    }
}
int main() {
    init();
    int T, m, n;
    scanf("%d", &T);
    while (T --) {
        scanf("%d %d", &m, &n);
        printf("%d\n", dp[m][n]);
    }
    return 0;
}