Homework 12

problem 4.16
三体 木星

摘要
木星是太阳系最大的行星，它对太阳系其他天体的影响是不可忽略的。例如水星的轨道进动，木星的贡献是绝对的主要因素。本文中将会忽略其他的行星，如土星的作用，用数值模拟的方法讨论木星，地球和太阳的三体问题。
关键字：木星 三体

背景
木星是太阳系八大行星中体积最大、自转最快的行星，从内向外的第五颗行星。它的质量为太阳的千分之一，但为太阳系中其它七大行星质量总和的2.5倍。因此木星对地球的轨道的影响是不可忽略的。那么，木星，地球和太阳就构成了典型的限制性三体系统。除了真实情况以外，文中还会就木星质量分别为真实质量的10,100,1000倍的情况进行讨论。

理论分析
天体运动在太阳系这种弱引力场的情况下，是遵循牛顿引力定律的，性对论效应可以忽略。再加上牛顿第二定律，我们可以写出运动方程：
$\frac{dv_i}{dt}=-\frac{Gm_j}{r_{ij}^3}\vec{r_{ij}}$
i，j=太阳，地球或木星，且i不等于j。
由于太阳的质量非常的大，我们的设置初始条件时可以只考虑太阳和木星或者地球的二体圆周运动，忽略第三个天体的作用。因此木星和地球初始速度有下式给出
$v=(4*pi*pi*(1-e)*(ms+mp)/a/(1+e))^{0.5}$
a表示半长轴，e表示离心率，ms和mp分别表示恒星和行星的质量。
而太阳的初始动量大小设置为地球和木星的总动量之和，方向相反，以保证质心的动量为零。

实验程序
program

运行结果
当$M_j=m_j$时，

当$M_j=10m_j$时，

当$M_j=100m_j$时，

当$M_j=1000m_j$时，

把第一张图放大可以发现，

地球的远日点在木星的引力周期性的作用下做周期性的运动，而且画出对应的$t-\theta$曲线可得，远日点运动的周期恰好等于木星运行周期的2倍。
结论
随着木星质量的增大，木星的引力对地球的摄动越来越强。当木星质量不太大时，会导致地球轨道做周期性的的摆动，而且摆动的周期恰好等于木星做圆周运动的周期的2倍；当木星的质量足够大时，木星会严重的影响地球轨道的稳定性，以至于会使地球被甩出太阳系；当木星的质量可以和太阳相比时，木星会捕获地球，并和太阳形成一个双星系统。