Homework 14

波动方程 波的叠加原理

摘要：
波动方程是线性方程，而线性方程的一个重要的性质就是方程的解构成一个加法运算的群。在本文中，我们将以数值运算的方式求解一定的初始条件下的波动方程，并且验证波的叠加原理，即两个波包相遇后形状和传播速度都不变。
关键字：波动方程 波的叠加原理

背景：
波的叠加原理物理学的基本原理之一。介质中同时存在几列波时，每列波能保持各自的传播规律而不互相干扰。在波的重叠区域里各点的振动的物理量等于各列波在该点引起的物理量的矢量和。这是由于波动方程是线性方程在数学上保证严格成立的。
随着计算机技术的发展，使用计算机模拟物理体系的演化成为了研究物理问题的一种新的手段。那么这种模拟是否反映了实际的物理体系？又或者这只是电脑的臆测。通过计算机模拟波的传播，并且验证波动方程是检验计算机模拟的可行性的不二之选。

物理模型与数学算法：
在均匀介质中传播的波的波动方程的离散形式由下式给出：
$\frac{y(i,n+1)+y(i,n-1)-2y(i,n)}{(\Delta t)^2}=c^2\frac{y(i+1,n)+y(i-1,n)-2y(i,n)}{(\Delta x)^2}$
上式中的c表示波速。在实际的物理体系中，时间是单向的，也就是说我们只能通过过去推导未来，反之不可。所以我们单独把$y(i,n+1)$拿出来，
$y(i,n+1)=2(1-r^2)y(i,n)-y(i,n-1)+r^2[y(i+1,n)+y(i-1,n)]$
其中$r=\frac{c\Delta t}{\Delta x}$
给出y（0，n）的初始条件，不妨也假设y（-1，n）=y（0，n），y（0，n）=y（M，n）=0，再利用上式递推得到所有需要的y（i，n）。

根据以上的分析，写出运行程序。

结果展示：
1、单一高斯波包的行为

2、两个高斯波包的行为

3、一个高斯波包和一个矩形弧波的行为

4、一个高斯波包和一个三角弧波的行为

结论：
以上波形的的叠加虽然形状各异，但是在分开后，各自独立的传播而且形状和波速保持不变，可见波动方程的数值解仍然满足波的叠加原理。

致谢
王世新同学在动图的实现方面提供了必要的援助。