太空电梯简化模型

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电梯绳横截面函数

这里简化为不考虑重心的问题，因为重心总可以使用配重来实现，而且在 GEO 之上还用绳子的话，运动方程会很奇怪，所以这里重心通过配重实现。

简化为一维问题，那么牛顿第二定律是

$$\frac{dT}{dz} = -\rho A(z) g(z)$$

其中

$$g(z) = -\frac{GM}{z^2} + z\Omega^2$$
是在 $z$ 半径处的等效重力加速度。

$dT$ 是在单位长度上的拉力，如果定义应力为 $\sigma(z)$，那么拉力微元可以写成 $dT = d(\sigma A)$，$A$ 是横截面积。

进一步简化为应力在整个绳上相等，那么 $dT = \sigma dA$，牛顿第二定律简化为 $A(z)$ 的方程，

$$\frac{dA(z)}{dz} = -\sigma\rho A(z) g(z).$$

方程通过一次积分来解出来，结果为[1]

$$A(z) = A _ 0 \exp{\left( \frac{\rho}{\sigma} \left[ G M \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{z _ 0} \right) + \frac{1}{2} \Omega^2 (z^2 - z _ 0^2) \right] \right)}.$$

所有带有下角标 ${}_0$ 的量是地球表面的，因此 $z_0 = R_E$。对于在同步轨道上的截面情况，我们使用 $z = R _ {GEO} = \sqrt[3]{\frac{GM}{\Omega^2}}$，得到[2]

$$A(z) = A _ 0\exp\left( 0.776 R_E g _ 0 \frac{\rho}{\sigma} \right)$$

其中 $g _ 0$ 是地球表面的引力。

在 Pearson 的论文中，$\frac{A(z)}{A _ 0}$ 被称作 taper ratio。[3]

振动问题

EoM（假设 $\partial_z A(z)$ 很小，或者说 $\partial A(z)/A \ll 1$）

$$\partial_t^2 u = \frac{Y}{\rho}\partial_z^2 u$$

1. 周期 $P = \frac{2 L}{m}\sqrt{ \frac{\rho}{Y} }$ 其中 $L$ 是长度，$m$ 是振动模式，取整数。

这个近似下的结果到底有多好，很难说。我没有想到一个比较好的图像来解释，所以还是应该从振动方程来从头数值解看看吧。

考虑横截面积变化之后，

$$\partial_t^2 u = \frac{Y}{\rho} \partial_z^2 u + \frac{\sigma}{\rho} \frac{\partial_z A}{A} \partial _ z u$$

由于多出来的一项是衰减项。

关于振动的也有几篇现成文章。[4] [5]