群论复习

写着主要给自己看的，怕长时间不用忘得彻彻底底。
再加上网上写的都太。。跳跃了，群论一下就被他们讲光了，感觉并不是很好。。
由于群论里面的杂七杂八的定理太多了，我就能记得起一些写一下吧，请自己见谅233。

群的定义

群是一个封闭的代数运算系统。
设$G$是一个群，它满足这样几个性质：

1.有且仅有一个唯一的单位元（也叫幺元） $\epsilon$，$\forall a \in G$ 满足 $a * \epsilon = \epsilon * a = a$；
2.$\forall a \in G$都有逆元 $a ^ {-1}$，并且满足$a * a ^ {-1} = a ^ {-1} * a = \epsilon$；
3.结合律成立，即若$a,b,c \in G$，则$a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)$；
4.封闭性成立，即若$a,b \in G$，则$a * b = c \in G$。
5.消去律成立，即若$a,b,x \in G$，$a * x = b * x$，则$a = b$。（$x$右乘的情况相同）

注意群并不需要满足交换律，也就是说左乘一个元素和右乘一个元素结果可能不同。
群其实在日常学习中很常见，只是不知道而已。
就比如小学时学的加减法和整数构成了一个整数交换群，其中运算符'$*$'实际上是'$+$'，单位元是$0$，逆元是相反数。并且很容易证明，它是封闭且结合的。
这样假装我们已经踏上了入门的道路。

群的种类

谈到分类，群的分类显然也有很多标准。
群可以按阶数划分（即群中元素个数），分为无限群和有限群，有限群还可以分为x阶群之类的。
群还可以根据其性质划分，比如交换群，就是满足交换律的群。
还有一些满足某些特殊性质的群，也有自己的命名。
在这里主要想重点写的还是在OI里面会涉及到的置换群及其一些定理。
最重要的应该是burnside和Polya。那些群同构同态也会提到吧。还有群的作用。再难的我也不会了。

群的性质定理

这里我不知道该怎么写了。。。
因为群里面的定理实在是太多了。
我们一步步来吧。

定理$1.1$ 广义结合律

我们知道一般的结合律是三元的，即$a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)$。
广义结合律就是扩展到多个元素的情况：$a1 * a2 * …… * ak = (在这个式子中任意加括号后得到的结果)$。
说的简单一点，这个可以用归纳秒掉。
显然，群满足广义结合律。

定义$1.2$ 方幂

定义群中元素的方幂$a^n = a * a * …… * a（n个a相乘）$

定义$1.3$ 阶

定义群的阶为$|G|$，即$G$中的元素个数。
群的阶不为$0$。阶为$1$的群一定为平凡群（即其中只包含单位元）。
并且任意阶数的群都存在（一定可构造）。
定义群中元素$a$的阶为满足$a ^ {k} = \epsilon$的最小正整数$k$。
$a$也叫$k$阶元。在无限群中，所有非幺元元素都是无限阶元。

定义$1.4$ 子群

定义子群：若$H \subseteq G$，且$H$自身也是群，交换群即满足交换律的群，则称$H$是$G$的子群。

定义$1.5$ 交换群

交换群即满足交换律的群，即$\forall a,b \in G$都满足$a * b = b * a$；
交换群也叫阿贝尔群。
在交换群中，对于任意元素$a,b$有$(ab) ^ {n} = a ^ n b ^ n$。

定义$1.6$ 循环群

设$G$是循环群，则必有一个生成元$a$，满足$G = \langle a \rangle$，表示$G$中所有元素可以表示成$a$的方幂的形式。
循环群也可以是无限群。并且，所有循环群都是交换群。
在循环群中，对于任意元素$a$有$a ^ m a ^ n = a ^ {m + n}，(a ^ m) ^ n = a ^ {mn}$。
且若这个循环群阶无限，则$\forall m \neq n，a ^ m \neq a ^ n$。
否则阶有限，则$\forall a ^ m = a ^ n，m - n \equiv 0 (mod\ |G|)$

定理$1.7$

若$G$是$n$阶循环群，设$a$为其生成元，则若$a ^ m$是$n$阶元，当且仅当$n \bot m$。
证明：可通过剩余系证明。

定理$1.8$

若群$G$是循环群，则$G$的子群也是循环群。
证明：设$G = \langle a \rangle$的某一个子群为$H$。
若$H = \{\epsilon\}$，则显然命题成立。
若$|H| > 1$，$a ^ {k} \in H$且$m$是最小正整数。显然，所有形如$a ^ {km}（km < n）$的元素都在这个子群中。
由于这是一个循环群，只有一个“基元素”$a$，所以如果我们确定如果对于所有$k$，都有$m \ | \ km（mod \ n）$，就表示结论成立，且$H = \langle a ^ {m} \rangle$。
我们采用反证法。如果存在$l \equiv km (mod \ n)$且$m \nmid l$，则显然，$a ^ {l\ mod\ m}$也在这个子群中，且方幂小于$m$，这和假设矛盾。因此结论是成立的。

下面进行置换群中的讨论。

置换群简介

置换

置换在表面上像是一个排列。没错，这是最原始最基本的置换，又排列表示。
举个例子，有一个置换$\alpha$。

$$\alpha = \left(\begin{array}{} 1 & 2 & ... & i & ... & n\\ \alpha(1) & \alpha(2) & ... & \alpha(i) & ... & \alpha(n) \end{array}\right)$$
其实，我们也可以从函数的角度来看置换，即定义映射$\alpha:X \rightarrow X$，其中$X = \{1,2,...,n\}$。
在这里，置换也是一个双射（那就是为什么它也是一个排列）。

置换+群？

将置换引入群内，就有了置换群。
那群中的元素又是什么？置换。
这看上去很疯狂，但是慢慢的，你就会觉得它和其它群也没有什么区别。其实坦白说，置换群更为常用和常见一些。

定义$2.1$ 对称群

称集合$X$的全体置换的族为$X$上的对称群，记为$S_X$。
当$X = \{1, 2, ...,n\}$时，常用$S_n$表示n个字母上的对称群。

摘自《高等近世代数》。这里其实……感觉就是定义一些东西吧。
这个“字母”应该是翻译的问题，本义就是$X$中的元素（或者称为位置）。

定义$2.2$ 轮换、对换

设$i_1, i_2, ..., i_r$是$\{1,2,...,n\}$中不同的整数。如果$\alpha \in S_n$ 固定其他位置，且

$$\alpha(i_1) = i_2, \alpha(i_2) = i_3, ..., \alpha(i_{r-1}) = i_r, \alpha(i_r) = i_1$$
则称$\alpha$是一个$r$-轮换，也叫做$\alpha$长度为$r$的轮换，记为 $$\alpha = (i_1 i_2...i_r)$$
事实上，这个记号根据其定义其实有r种不同的标记方法，即：
$$(i_1 i_2...i_r) = (i_2 i_3...i_1) = ... = (i_r i_1...i_{r-1})$$
其中一个长度为$2$的轮换也叫作对换。$1$轮换可以看成“恒等函数”，它固定每个位置。

定义$2.3$ 置换相交

称两个置换是$\alpha, \beta$是相交的，当且仅当$\exists i$同时被一个置换或固定。即：
如果$\alpha(i) = i$且$\beta(i) = i$或$\alpha(i) \neq i$且$\beta(i) \neq i$，则$\alpha, \beta$是相交的。
否则是不相交的。

例$2.3$ 置换复合

我们说置换就像函数一样。那么既然有复合函数，也应当有复合置换。
举个例子：设在对称群$S_9$中$\beta = (1 \ 6), \gamma = (2 \ 4), \delta = (3 \ 7 \ 8 \ 9)$，则$\beta \gamma \delta(1) = 6$。
其实相当于函数计算的过程。
事实上，将$\beta \gamma \delta$复合起来，可以得到一个全新的置换$\alpha$，一个置换能代替这三个的作用。
则有$\alpha(i) = \beta \gamma \delta(i)$ （对于所有$i$）。
那如何计算$\alpha$？
注意到$\beta，\gamma，\delta$两两不交，那么我们就可以直接合并：$\alpha = (1 \ 6)(2 \ 4)(3 \ 7 \ 8 \ 9)(5)$。
最后一个$5$是因为它始终保持不变，是个$1$-轮换。
那如果有相交呢？
比如在对称群$S_5$中，$\beta = (1 \ 2), \gamma = (1 \ 3 \ 4 \ 2 \ 5), \delta = (2 \ 5 \ 1 \ 3)$。
显然$\alpha = (1 \ 2)(1 \ 3 \ 4 \ 2 \ 5)(2 \ 5 \ 1 \ 3)$，但还需要进一步的化简。
我们回忆在刚开始介绍置换群时把一个置换写成两行的形式。这提醒了我们，只要把每个位置$i$上最终是什么算出来就好了。我们从置换的右端开始计算。（这其实是一个很棒的习惯，想想计算函数的时候？）
$\alpha: 1 ↦ 3 ↦ 4 ↦ 4$
$\alpha: 2 ↦ 5 ↦ 1 ↦ 2$
$\alpha: 3 ↦ 2 ↦ 5 ↦ 5$
$\alpha: 4 ↦ 4 ↦ 2 ↦ 1$
$\alpha: 5 ↦ 1 ↦ 3 ↦ 3$
这样，我们把这些记号写成两层，就变成了：

$$\alpha = \left(\begin{array}{} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{array}\right)$$
然后怎么做？我们下一步是要把原置换拆成几个不相交的轮换的乘积。
观察一下，发现$\alpha(1) = 4, \alpha(4) = 1$。
好像经过若干次（最多$5$次置换后）会回归原位置！并且对于每个轮换都是这样。
然后我们就可以分解了：$\alpha = (1 \ 4)(2)(3 \ 5)$。
这个例子下面的定理做了或多或少一些铺垫。

系$2.4$

不相交置换$\alpha，\beta \in S_n$可交换。
可以考虑每个位置最终状态。

定义$2.5$ 完全轮换分解

置换$\alpha$的完全轮换分解是指$\alpha$分解为不相交轮换的轮换分解。

定理$2.6$ 轮换分解定理

设$\alpha = \beta _1 \beta _2 ... \beta _t$是不相交轮换的完全轮换分解，如果不计各轮换出现的次序，该分解是唯一的。
对唯一性的证明，一般可以采取反证法。

定义$2.7$ 轮换结构

称两个置换$\alpha，\beta \in S_n$有相同的轮换结构，如果在它们的完全轮换分解中，对于每个$r$，它们所含的$r$-轮换个数相等。

例$2.8$
这个例子为下面一般性的结果做个铺垫。

设$\gamma = (1 \ 3)(2 \ 4 \ 7)(5)(6)$，$\alpha = (2 \ 5 \ 6)(1 \ 4 \ 3)$，
则$\alpha \gamma \alpha ^ {-1} = (4 \ 1)(5 \ 3 \ 7)(6)(2) = (\alpha1 \ \alpha3)(\alpha2 \ \alpha4 \ \alpha7)(\alpha5)(\alpha6)$。

引理$2.9$

如果$\alpha ，\gamma \in S_n$，则$\alpha \gamma \alpha ^ {-1}$与$\gamma$有相同的轮换结构。
详细说，如果$\gamma$的完全轮换分解为$\gamma = \beta _1 \beta _2 ...(i_1i_2...)... \beta _t$，则$\alpha \gamma \alpha ^ {-1}$可以这样得到：在$\gamma$的轮换中把$\alpha$作用到各个记号上（设其为$\sigma$。
证明：主要思路就是对于$\sigma$固定的$i$，证明$\alpha \gamma \alpha ^ {-1}$也固定这个$i$；对于$\sigma$移动的$i$，证明$\alpha \gamma \alpha ^ {-1}$的移动是与其等价的。

定理$2.10$

$S_n$中置换$\gamma$和$\sigma$具有相同的轮换结构当且仅当存在$\alpha \in S_n$使得$\sigma = \alpha \gamma \alpha ^ {-1}$。
充分性已经在引理$2.9$中证明。下证必要性。
由于已知$\gamma$和$\sigma$具有相同的轮换结构，那么对于$\gamma$的轮换分解中的每个轮换，都可以找到任意一个$\sigma$中的一个等长轮换。我们把它们一一对应起来：
$\gamma = \delta_1 \delta_2 ... (i_1i_2...) ...\delta_t$
$\sigma = \eta_1 \eta_2 ... (j_1j_2...) ...\eta_t$
定义$\alpha$为“下移”函数，即形如$\alpha(i_1) = j_1$，$\alpha(i_2) = j_2$的样子。
显然，$\alpha$已经满足$\sigma = \alpha \gamma \alpha ^ {-1}$，只需要知道$\alpha$是不是一个置换就好了。
而由于$\gamma$和$\sigma$都是置换，可知$\alpha$也是一个置换。

系$2.11$

如果$n \geq 2$，则每个$\alpha \in S_n$都是对换的乘积。
例如$\beta = (1 \ 2 \ ...\ r) = (1 \ r)(1 \ r-1)...(1 \ 3)(1 \ 2)$。

定义$2.12$ 置换的奇偶性

称置换$\alpha \in S_n$是偶置换，如果它能分解成偶数个对换的乘积否则它是奇置换。
定义符号$sgn(\alpha) = (-1) ^ {n-t}$，其中$t$是$\alpha$完全轮换分解中轮换的个数。
显然$sgn$函数是合理定义的。

但是有一个问题：置换的奇偶性是唯一的吗？
这个问题我自己好像也不会证明。书上好像也没有写。
所有下面一部分可能没有证明。

定理$2.13$ $sgn$函数性质

如果$\alpha，\beta \in S_n$，则$sgn(\alpha \beta) = sgn(\alpha)sgn(\beta)$。
若$sgn(\alpha) = -1$，则$\alpha$是奇置换，若$sgn(\alpha) = 1$，则$\alpha$是偶置换。
置换$\alpha$是奇置换当且仅当它是奇数个对换的乘积。
还有一个挺显然的结论：
奇 * 奇 = 偶
奇 * 偶 = 奇
偶 * 奇 = 奇
偶 * 偶 = 偶
可以类比一下某些运算符的性质。

这里的证明都先跳吧。

置换群基础部分就到这里为止了。
下面跳过一些非必需部分，进入一些重点的讨论。

陪集

陪集算是群论里面非常重要的一部分了。

定义$3.1$ 陪集

如果群$H$是$G$的子群，且$a \in G$，则$G$的子集$aH$叫做陪集，其中 $aH = \{ ah : h \in H \}$。
这里定义的其实是左陪集，还有对应的右陪集。一般左右陪集是不同的。

引理$3.2$

设$H$是群$G$的子群，并设$a，b \in G$。
1.$aH = bH$当且仅当$b ^ {-1}a \in H$。特别地，$aH = H$当且仅当$a \in H$。
2.如果$aH \cap bH \neq \emptyset$，则$aH = bH$。
3.对于一切$a \in G$，$|aH| = |H|$。
证明：
1.“特别地”后面的那句话非常好证，只要反证就行了。
然后证明一般情况时相当于要证明$b ^ {-1}aH = H$当且仅当$b ^ {-1}a \in H$就好了。
2.如果$aH \cap bH \neq \emptyset$，则$b ^ {-1}aH \cap H \neq \emptyset$，由于$H$是群，所以$b ^ {-1}a \in H$，再由1得$aH = bH$。
3.$h↦ ah$是$H \rightarrow aH$的双射。双设满足原象的元素个数等于象的元素个数。

事实上，根据这些引理，我们就可以定义在群$G$上如下的关系：$a \equiv b$如果$b ^ {-1}a \in H$。可以证明这是一个等价关系，所有陪集构成了等价类。

定理$3.3$ 拉格朗日定理

如果群$H$是有限群$G$的子群，则$|H|$是$|G|$的因数。
证明：设$\{a_1H，a_2H，...，a_tH\}$是$G$中一切不同陪集的族，则

$$G = a_1H \cup a_2H \cup...\cup a_tH$$
其中“$\cup$”在这里是不相交并，则因此有
$$|G| = |a_1H| + |a_2H| + ... + |a_tH|$$
由引理$3.2$可得$|G| = t|H|$。

定义$3.4$

$G$中子群$H$的指数是指$G$中$H$的左陪集个数（事实上也是右陪集个数），记为$[G:H]$。
根据拉格朗日定理，我们有公式：

$$[G:H] = \frac {|G|}{|H|}$$

这是现阶段最重要，或说是意义最大的一个定理，只是现在我们还不知道它有什么用。

系$3.5$

设$G$是有限群，$a \in G$，则$a$的阶是$|G|$的因数，且$a ^ {|G|} = 1$。
证明：有一个结论就$a$的阶是$| \langle a \rangle|$（其中$\langle a \rangle$是$G$的子群）
根据拉格朗日定理可得命题前半句成立。后半句根据元素阶的定义显然也成立。

定理$3.6$

如果$p$是素数，则每个阶为$p$的群都是循环群。
证明：如果$a \in G$且$a \neq \epsilon$，则$a$的阶$d>1$且$d$是$p$的因数。因为$p$是素数，所以$d = p$，则$G =\langle a \rangle$，是循环群。

系$3.7$

设$G$是$4$阶群，则$G$不是循环群就是交换群。
若$G$不是循环群，易得群中不含$3$,$4$阶及以上元素。
则有$1$个单位元和$3$个$2$阶元素。
设$G = \{\epsilon , a, b, c\}$。
因为$a \neq b$且$a，b$都是二阶元素，所以$c = a * b \neq \epsilon，a，b$。
同理可得$b * a$的结果也是$c$。同样可以验证其他元素。
这种$4$阶交换群叫做V群。
因此$4$阶群$G$不是肯定是交换群。

这个例子并不是说有多大的作用，只是在引导我们确定群的性质时给出了一种思路。

接下来应该是群同态，同构的部分。
感觉这部分写起来会非常的累，并且感觉自己对这块内容不是特别熟悉。

同态及同构

同构这一方面的理论会令人感觉比较不熟悉。

定义$4.1$ 同态、同构

然后$(G, *)，(H, *)$是两个群，其中乘号是这个群内的运算。
则函数$f:\ G\rightarrow H$称为同态，如果$\forall x,y \in G，s.t. \ f(x*y)=f(x) \circ f(y)$。
如果$f$还是一个双射，则称$f$为同构。两个群称为同构的，如果它们之间存在关系$f:\ G\rightarrow H$，记为$G \cong H$。

下面是群同构满足的条件。
引理$4.2$

设$f:\ G\rightarrow H$是群同态。
1.$f(\epsilon) = \epsilon$
2.$f(x ^ {-1}) = f(x) ^ {-1}$
3.$\forall n \in \mathbb {Z}，s.t. f(x ^ n) = f(x) ^ n$

证明：
1.$1 \cdot 1 = 1$蕴含$f(1) = f(1)f(1)$。
2.$x \cdot x ^ {-1} = 1$蕴含$f(1) = f(x)f(x ^ {-1})$。
3.运用归纳法以及上一点来证明。

定义$4.3$ 不变量

群$G$的一个性质为任意一个同构于它的群所共有称为$G$的一个不变量。

例如阶$|G|$就是一个$G$的不变量，因为所有同构的群拥有相同元素（即相同的阶）。
交换群的满足交换律的性质也是一个不变量。
再如相同阶元素个数相同也是一个不变量。
由此可以初步判断一些群是否同构。

定义$4.4$ 核、象

设$f:\ G\rightarrow H$是同态，定义：
$f的核 = \{x \in G : f(x) = 1 \}$
$f的象 = \{h \in H : \exists x \in G，s.t.\ h = f(x) \}$
通常记$f$的核为ker$f$，$f$的象为im$f$。

引理$4.5$

设$f:\ G\rightarrow H$是同态。
(1).ker$f$是$G$的子群，im$f$是$H$的子群。
(2).如果$x \in$ker$f$，$a \in G$，则$axa^{-1} \in$ker$f$。
(3).$f$是单射当且仅当ker$f$={1}。

证明：
(1).根据定义显然成立。
(2).$f(axa^{-1}) = f(a)f(x)f(a^{-1}) = f(a)1f(a)^{-1} = 1$。
(3).$f(a)=f(b)当且仅当f(b^{-1}a)=1$。

定义$4.6$ 正规子群

群$G$的子群$K$称为正规子群，如果$k \in K$和$g \in G$蕴含$gkg^{-1} \in K$。如果$K$是$G$的正规子群，记为$K \triangleleft G$。
如果群$G$是交换群，显然$G$的每个子群都是正规子群。
但反过来不一定成立，比如四元数群。

定义$4.7$ 共轭

如果$G$是群，$a \in G$，则形如$gag^{-1}$的$G$中任一元素称为$a$的一个共轭元素，其中$g \in G$。
定义共轭$\gamma_g: G \rightarrow G$为对一切$a \in G$，$\gamma_g(a) = gag^{-1}$，其中$g \in G$。

显然，子群$K \leq G$是正规子群当且仅当$K$中包含$G$的一切元素的共轭元素。
共轭$\gamma_g: G \rightarrow G$是同构，且共轭元素具有相同的阶。

例$4.8$

定理2.10证明了$S_n$中两个置换共轭当且仅当它们拥有相同的轮换结构。

定义$4.9$

群$G$的中心，记为$Z(G)$，定义为$Z(G)=\{z \in G:\forall g \in G, zg = gz\}$。

可知$Z(G)$是群$G$的子群，还是正规子群。
且群$G$是阿贝尔群当且仅当$Z(G) = G$，这也是显然可知的。
如果$Z(G) = \{1\}$，则称群$G$为无中心群。
比如对于$n \geq 3$，对称群$Sn$都是无中心群。

定义$4.10$ 自同构、内自同构

如果$G$是群，则同构$f: G \rightarrow G$称为$G$的自同构。例如每个共轭$\gamma_g$就是自同构（进一步称为内自同构）。$G$的一切自同构的集合$Aut(G)$在复合下也是一个群，而一切共轭的集合$Inn(G) = \{\gamma_g : g \in G\}$是$Aut(G)$的子群。