小学奥数难题汇总（2014.10.10更新）

小学奥数

作者：邱福星 $\quad$QQ群：点击链接加入群【武汉小学奥数】：$\quad$微信公共账号：qiufuxing2014

---

小学奥数难题汇总，题目精选自：日本算术奥林匹克、数学解题能力展示（迎春杯）、两岸四地精英赛、华罗庚金杯少年数学邀请赛、高思学校竞赛数学导引、数学思维训练汇编等等，希望能帮助到大家！

数学是一门让很多人比较“痛恨”的学科，尤其是“小学奥数”，大家第一印象就是奥数很难，我从小到大一直学数学，包括大学本科也是学的数学专业，我是由衷的体会到数学是很有意思的，那种思考的乐趣、顿悟的快感让我很喜欢数学，比如说小时后印象比较深的一道题目：一个正方形的桌子切掉一个角，还剩几个角？当时第一反应就是三个，后来别人告诉我是五个，还可能是三个或四个，仔细体会之后，原来如此！之后经常出这个题去考其他的小伙伴，很有意思。小时后我们还会玩一种报数的游戏，从1报到30，每个人报1个数或者两个数，按顺序谁先报到30谁赢，当时不知其中的规律，每次跟别人玩必输，后来才知道其中的奥秘，别人报1个，我报2个，别人报2个，那么我就报1个，每次让别人先报，最后必赢。

数学的关键是想题，开动脑筋去思考问题，寻找答案的过程比答案本身更重要，新一轮小升初即将来临，我决定把小学奥数中出得比较好而且比较有难度(★★★★★)的题目拿出来，在这里长期更新，让我们一起拿起手中的笔，与孩子一起专心学习，在这些好题当中去发现、体会数学的美！

---

【题目】

【2014.9.9】

已知$A=\dfrac{1}{8}$，$B=\dfrac{1}{{{8^2}}}{\text{ + }}\dfrac{1}{{{9^2}}}{\text{ + }}\dfrac{1}{{{{10}^2}}}{\text{ + }} \cdots + \dfrac{1}{{{{64}^2}}}$，请比较$A$和$B$的大小。答案

【2014.9.11】

计算：$\dfrac{{{1^2} + {2^2}}}{{1 \times 2}} + \dfrac{{{2^2} + {3^2}}}{{2 \times 3}} + \cdots + \dfrac{{{{19}^2} + {{20}^2}}}{{19 \times 20}}$。答案

【2014.9.15】

正方形$PQRS$有三个顶点分别在三角形$ABC$的三条边上，且$BQ=QC$，请求出正方形$PQRS$的面积。答案

【2014.9.17】

分母为$1001$的最简真分数有几个？这些数的和是多少？答案

【2014.9.19】

自然数$a$和$b$满足$a+b=1001$，且$a$与$b$互质，满足的数对共有多少个？答案

【2014.9.22】

在一个阳光明媚的下午，甲乙丙丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问：恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？答案

【2014.9.24】

求$19 \times \left( {\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{11}^2}}} + \dfrac{1}{{{{12}^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{{2013}^2}}} + \dfrac{1}{{{{2014}^2}}}} \right)$的整数部分。答案

【2014.9.26】

若最简分数$\dfrac{p}{q}$写成小数形式为$0.ababab\cdots$（非负整数$a$和$b$可以相等，但不能同时为0）那么符合条件的分数中，不同的分子有几个？答案

【2014.10.8】

学学和思思一起洗5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有几种不同的摞法？答案

【2014.10.10】

把一个四位数的四个数字颠倒顺序，将所得到的数与原数相加。如果所得到的和数能被35整除，则称这个四位数为“好数”。那么所有的四位数中，“好数”有多少个？

---

【答案】

【2014.9.9】

第一种方法：这题属于比较大小，而且分母都是平方的形式，使用放缩法就可以转化为裂项，但这题的关键是要保留第一项不动，否则的话就放不出来，我觉得这一点是很难想的，需要不断的尝试。

$\begin{align} \hspace{2em}&B < \frac{1}{{{8^2}}} + \frac{1}{{8 \times 9}} + \frac{1}{{9 \times 10}} + \cdots + \frac{1}{{63 \times 64}} \\ \hspace{2em}&= \frac{1}{{64}} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}} + \cdots + \frac{1}{{63}} - \frac{1}{{64}} \\ \hspace{2em}&= \frac{1}{8} \\ \end{align}$

即$B< A$

这里提供第二种方法（原创）：如果按照正常来放缩，发现放过了，所以一个很好的想法就是放小一点，放缩的时候$8\times8$还可以放成$7.5\times8.5$

$\begin{align} \hspace{2em}&B < \frac{1}{{7.5 \times 8.5}} + \frac{1}{{8.5 \times 9.5}} + \cdots + \frac{1}{{63.5 \times 64.5}} \\ \hspace{2em}&= \frac{1}{{7.5}} - \frac{1}{{8.5}} + \frac{1}{{8.5}} - \frac{1}{{9.5}} + \cdots + \frac{1}{{63.5}} - \frac{1}{{64.5}}\\ \hspace{2em}&= \frac{1}{{7.5}} - \frac{1}{{64.5}} = \frac{{57}}{{483.75}} < \frac{{57}}{{456}} = \frac{1}{8} \\ \end{align}$

---

【2014.9.11】

第一种思路：此题直接硬算肯定是不行的，观察发现这些数都是有规律的，咱们不妨用通项的方法找出规律来，那么第$n$项应该是：

$\dfrac{{{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n \times \left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{{2{n^2} + 2n + 1}}{{{n^2} + n}} = 2 + \dfrac{1}{{{n^2} + n}} = 2 + \dfrac{1}{{n \times \left( {n + 1} \right)}}$

这样的话，本题就化为了常规的裂项，因此

$\begin{align} 原式&=2 \times 19 + \dfrac{1}{{1 \times 2}} + \dfrac{1}{{2 \times 3}} + \cdots + \dfrac{1}{{19 \times 20}} \\ \hspace{2em}&=38 + 1 - \dfrac{1}{{20}} \\ \hspace{2em}&=38\dfrac{{19}}{{20}} \\ \end{align}$

第二种思路：直接拆，然后两两合并

$\begin{align} 原式&{\text{ = }}\frac{2}{1}{\text{ + }}\frac{1}{2}{\text{ + }}\frac{3}{2}{\text{ + }}\frac{2}{3}{\text{ + }}\frac{4}{3}{\text{ + }}\frac{3}{4}{\text{ + }} \cdots + + \frac{{18}}{{19}} + \frac{{20}}{{19}} + \frac{{19}}{{20}} \\ \hspace{2em}& = 2 + \left( {\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \right) + \left( {\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} \right) + \cdots + \left( {\frac{{18}}{{19}} + \frac{{20}}{{19}}} \right) + \frac{{19}}{{20}} \\ \hspace{2em}& = 2 \times 19 + \frac{{19}}{{20}} \\ \hspace{2em}& = 38\frac{{19}}{{20}} \\ \end{align}$

---

【2014.9.15】

这题难度非常大，需要找到一条线索，抽丝剥茧，才能把这题做出来。

首先$P$、$Q$、$R$是三角形三条边上的分点，那么我们应该想到这是鸟头模型，我课堂上是讲过这个模型的，尤其是那只“三头鸟”，不知道大家还有没有印象。所以第一步，先连接$PR$，构成一只“三头鸟”，那么砍掉三个头之后，就能求出$\triangle PQR$占比，因此正方形$PQRS$占整个三角形的比例就可以求出来

其次，下一个目标就是要求出$\triangle ABC$的面积，但是题目只告诉我们两条边长，面积无法求，注意到$\angle PBQ+\angle APS=90^{\circ}$，$\angle ARS+\angle QCR=90^{\circ}$，所以接下来比较难想的是把$\triangle BPQ$绕$P$点逆时针旋转$90^{\circ}$，把$\triangle QRC$绕$R$点顺时针旋转$90^{\circ}$，而且$6^2+7^2=9^2+2^2=85$，那么面积就可以求了！

根据鸟头模型，${S_{\vartriangle APR}} = {S_{\vartriangle ABC}} \times \dfrac{7}{{13}} \times \dfrac{9}{{11}} = \dfrac{{63}}{{143}}{S_{\vartriangle ABC}}$，同理，${S_{\vartriangle BPQ}} = \dfrac{3}{{13}}{S_{\vartriangle ABC}}$，${S_{\vartriangle CQR}} = \dfrac{1}{{11}}{S_{\vartriangle ABC}}$，因此${S_{PQRS}} = 2{S_{\vartriangle PQR}}{\text{ = }}2 \times \left( {1 - \dfrac{{63}}{{143}} - \dfrac{3}{{13}} - \dfrac{1}{{11}}} \right){S_{\vartriangle ABC}} = \dfrac{{68}}{{143}}{S_{\vartriangle ABC}}$

将$\triangle BPQ$和$\triangle QRC$旋转后，和四边形$APSR$构成两个直角三角形，面积和为$\dfrac{1}{2} \times 7 \times 6 + \dfrac{1}{2} \times 9 \times 2 = 30$，因此${S_{\vartriangle ABC}} = 30 \div \left( {1 - \dfrac{{68}}{{143}}} \right) = \dfrac{{286}}{5}$，所以正方形$PQRS$的面积为$\dfrac{{286}}{5} \times \dfrac{{68}}{{143}}{\text{ = }}\dfrac{{136}}{5}{\text{ = }}27.2{\operatorname{cm} ^2}$

---

【2014.9.17】

第一种方法：容斥

$\dfrac{a}{1001}$是最简分数，并且$1001=7\times11\times13$，那么$a$不是7、11、13的倍数，这是一个三元容斥，$a$的范围为$1-1000$。

先求出7、11、13的倍数有：$\left[ {\dfrac{{1000}}{7}} \right]{\text{ + }}\left[ {\dfrac{{1000}}{{11}}} \right]{\text{ + }}\left[ {\dfrac{{1000}}{{13}}} \right] - \left[ {\dfrac{{1000}}{{7 \times 11}}} \right] - \left[ {\dfrac{{1000}}{{7 \times 13}}} \right] - \left[ {\dfrac{{1000}}{{11 \times 13}}} \right] + \left[ {\dfrac{{1000}}{{7 \times 11 \times 13}}} \right]=280$

因此不是7、11、13的倍数有$1000-280=720$个。即分母为$1001$的最简真分数有720个。

这些数的和怎么求呢？注意一点，如果$\dfrac{a}{1001}$是最简真分数，那么$\dfrac{1001-a}{1001}$也一定是最简真分数，因为$a$不是7、11、13的倍数，那么$1001-a$也不是7、11、13的倍数。所以这些数可以两两配对，$\dfrac{a}{1001}+\dfrac{1001-a}{1001}=1$，所以和为$720\div2=360$。

第二种方法：欧拉函数

1. 定义：$\varphi \left( m \right)$表示不超过$m$且和$m$互质的正整数的个数，则$\varphi \left( m \right)$称为欧拉函数。

2. 公式：若 $m = p_1^{{a_1}} \times p_2^{{a_2}} \times \cdots \times p_n^{{a_n}}$，则$\varphi \left( m \right) = m \times \left( {1 - \dfrac{1}{{{p_1}}}} \right) \times \left( {1 - \dfrac{1}{{{p_2}}}} \right) \times \cdots \times \left( {1 - \dfrac{1}{{{p_n}}}} \right)$

3. 例子：$12=2^2\times3$，则$\varphi \left( {12} \right) = 12 \times \left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) \times \left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right) = 4$

4. 证明：若$m = p_1^{{a_1}} \times p_2^{{a_2}}$，根据二元容斥原理，去掉$p_1$的倍数，去掉$p_2$的倍数，再加上$p_1\times p_2$的倍数。则
   $\begin{align} &\varphi \left( m \right) = m - \left( {\frac{m}{{{p_1}}} + \frac{m}{{{p_2}}} - \frac{m}{{{p_1} \times {p_2}}}} \right) \\ &= m - \frac{m}{{{p_1}}} - \frac{m}{{{p_2}}} + \frac{m}{{{p_1} \times {p_2}}} \\ &= m \times \left( {1 - \frac{1}{{{p_1}}}} \right) - \frac{m}{{{p_2}}} \times \left( {1 - \frac{1}{{{p_1}}}} \right) \\ & = m \times \left( {1 - \frac{1}{{{p_1}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{{{p_2}}}} \right) \\ \end{align}$

推广到$n$同理，不再证明。

所以，$\varphi \left( {1001} \right) = 1001 \times \left( {1 - \dfrac{1}{7}} \right) \times \left( {1 - \dfrac{1}{{11}}} \right) \times \left( {1 - \dfrac{1}{{13}}} \right) = 720$

如果是填空选择，建议大家直接用第二种方法，结论好记又好用，大题就用第一种方法，毕竟要写过程。

---

【2014.9.19】

这道题目其实是上面那道题目的一个变形，$\dfrac{a}{1001}$是最简真分数，那么$\dfrac{1001-a}{1001}$也是最简真分数，如$\dfrac{2}{1001}$和$\dfrac{999}{1001}$，并且2和1999是互质的。

因为$a$与$b$互质，所以$a$与$a+b$也是互质的，因为如果$a$与$a+b$不互质，那么它们有最大公因数$k$，且$k>1$，因此$a$是$k$的倍数，$a+b$也是$k$的倍数，从而$a+b-a$也是$k$的倍数，那么$a$和$b$就不互质了。所以$a$与$1001$互质。

这道题目翻译过来就是：分母是$1001$的最简真分数有几个？

我们使用第二种方法：$1001 \times \left( {1 - \dfrac{1}{7}} \right) \times \left( {1 - \dfrac{1}{{11}}} \right) \times \left( {1 - \dfrac{1}{{13}}} \right) = 720$，所以答案是$720$对。

---

【2014.9.22】

此题网上解法一大堆，但晦涩难懂，这道题目我想了很长时间，想出了一种相对好理解的方法。

要想求恰被一个人浇过的花最多，那么就要尽量让浇一次的花错开，并且浇4次的和浇3次的尽量集中，因此，在错开后，让甲、乙、丙、丁浇的越集中越好，因为甲只浇了30盆，太少，故甲不需要考虑，如下图所示：

设恰被一个人浇过的花有$x$盆，则同时被三人浇的有$100-x$盆，则$75+80+90=3\times(100-x)+x$，解得$x=27.5$，但不可能有半盆，$27.5$是最理想的状态，达不到，所以最多27盆，接下来只要构造出来具体的一种方案此题就真正的完美解决了，构造比较简单，大家可以自己试一试。

---

【2014.9.24】

这题肯定是裂项来放缩，但是放缩的时候如果全部放成整数，那么范围就大了，是求不出来的，必须要放成小数才可以，可参考9.9号的题目。

设$A = 19 \times \left( {\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{11}^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{{2014}^2}}}} \right)$

$\begin{align} A &< 19 \times \left( {\frac{1}{{9.5 \times 10.5}} + \dfrac{1}{{10.5 \times 11.5}} + \cdots + \dfrac{1}{{2013.5 \times 2014.5}}} \right) \\ & = 19 \times \left( {\dfrac{1}{{9.5}} - \dfrac{1}{{10.5}} + \dfrac{1}{{10.5}} - \dfrac{1}{{11.5}} + \cdots + \dfrac{1}{{2013.5}} - \dfrac{1}{{2014.5}}} \right) \\ & = 19 \times \left( {\dfrac{1}{{9.5}} - \dfrac{1}{{2014.5}}} \right) \\ & = 2 - \dfrac{1}{{2014.5}} < 2 \\ \end{align}$

$\begin{align} A& > 19 \times \left( {\dfrac{1}{{10 \times 11}} + \dfrac{1}{{11 \times 12}} + \cdots + \dfrac{1}{{2014 \times 2015}}} \right) \\ &= 19 \times \left( {\dfrac{1}{{10}} - \dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{11}} - \dfrac{1}{{12}} + \cdots + \dfrac{1}{{2014}} - \dfrac{1}{{2015}}} \right) \\ &= 19 \times \left( {\dfrac{1}{{10}} - \dfrac{1}{{2015}}} \right) \\ &= 1.9 - \dfrac{{1.9}}{{2015}} > 1.9 \\ \end{align}$

因此$1.9 < A < 2$，所以$A$的整数部分是1。

---

【2014.9.26】

最简分数$\dfrac{p}{q}$可以写成$\dfrac{ab}{99}$的形式，要想求不同的分子，如果$\overline{ab}$和99互质，那么这些分子一定是互不相同的，那么使用【2014.9.17】那题的结论，$99 = {3^2} \times 11$，所以与99互质的分子一共有$99 \times \left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right) \times \left( {1 - \dfrac{1}{{11}}} \right) = 60$个。

但除了与99互质的分子外，还有一些漏网之鱼，为什么我们不考虑与99能约分的呢？是因为约分之后分子就已经出现过了，比如$\dfrac{3}{{99}}$约分后分子就是1，但是如果分子含有3个3，也就是27，那么约分之后分子是之前没有出现过的！所以我们还需要加上$\dfrac{{27}}{{99}} = \dfrac{3}{{11}}$、$\dfrac{{27 \times 2}}{{99}} = \dfrac{6}{{11}}$、$\dfrac{{27 \times 3}}{{99}} = \dfrac{9}{{11}}$这三个不同的分子，而且分母是99，所以分子不能含2个11。

所以最终答案是不同的分子有63个。

---

【2014.10.8】

这题有一个对应思想在里面，用“横线”表示洗碗，“竖线”表示摞碗，那么，如下图所示就对应着一种洗法和摞法

表示洗2个，摞1个，洗1个，摞1个，洗2个，摞2个，也就相当于求如下图所示的从$A$到$B$的最短路径有多少条

但是不能洗1个碗而摞了2个碗，即这张图的上半部分我们不能要，只能要下半部分，因为洗的碗要$\geqslant$摞的碗，也就是下图所示，求从$A$到$B$的最短路径有多少条

那么，这题就转化成了一个标数问题，因为图像一个阶梯样，我们把这种标数法叫做阶梯标数，具体的标数细节不再赘述，最终答案为42