一帖带你看懂几何五大模型

小学奥数

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几何五大模型都是建立在共边模型的基础之上，而共边模型建立在三角形的面积上．从三角形的面积出发，一层一层揭开几何五大模型的秘密！

一、共边模型

共边模型可以细分成三个模型：一半、等积、共边．我们先从最简单的一半说起

1. 一半

什么是一半模型呢？一半模型如果细分的话大概有12种，但咱们只要掌握常规的几种就可以了．

• 长方形中的一半（平行四边形同理）
  

  证明：利用三角形的面积，底$\times$高$\div2$，所以阴影部分的面积都是长方形面积的一半．

• 梯形中的一半
  
  证明：前面两个很好说明，直接利用梯形和三角形的面积公式即可，第三个可变成平行四边形中的一半．

• 一般四边形中的一半
  
  证明：略，一半四边形中的一半考察较少．

2. 等积

什么是等积呢？顾名思义，就是积相等，如下图，$\triangle ABC$和$\triangle ABD$底相同，高相等，所以面积相等．这个模型的关键是找平行线．最常见的题型是两个或三个并排摆放的正方形，它们的对角线是平行的．

3. 共边

共边模型是后面四大模型的基础，它的原理很简单，就是三角形的面积公式．两个三角形的高相同，所以面积比等于底边之比，即：${S_{ABD}}:{S_{ACD}} = BD:DC$

虽然共边模型原理很简单，但考试当中也会出现难度相当大的题目，比如2014年创新杯填空题最后一题考察的就是一半模型，但难度相当大．

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二、鸟头模型

鸟头模型因为图长得像愤怒的小鸟中那只黄色的鸟，故取名鸟头模型．

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形，也就是我们所的鸟头模型．鸟头一共有四种情况：

结论：$\dfrac{{{S_{\triangle ADE}}}}{{{S_{\triangle ABC}}}} = \dfrac{{AD \times AE}}{{AB \times AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \times \dfrac{{AE}}{{AC}}$

证明：图1中，连接$BE$，则$\dfrac{{{S_{\triangle ADE}}}}{{{S_{\triangle ABE}}}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$，$\dfrac{{{S_{\triangle ABE}}}}{{{S_{\triangle ABC}}}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$，所以$\dfrac{{{S_{\triangle ADE}}}}{{{S_{\triangle ABC}}}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \times \dfrac{{AE}}{{AC}}$．
$\hspace{2.3em}$图2中，在$AB$上截一段$AF$，使$AF=AE$，即可化为第一种情况．
$\hspace{2.3em}$图3中，将$\triangle ADE$绕点$A$旋转$180^{\circ}$即可化为第一种情况．
$\hspace{2.3em}$图4中，将$\triangle ADE$绕点$A$旋转$90^{\circ}$即可化为第一种情况．

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三、蝴蝶模型

1. 一般四边形

• ${S_1}:{S_{\rm{4}}} = {S_2}:{S_3} = AO:OC$（同理${S_1}:{S_2} = {S_4}:{S_3} = DO:OB$）

• 对角相乘相等：${S_1} \times {S_3} = {S_2} \times {S_4}$

• $\left( {{S_1} + {S_4}} \right):\left( {{S_2} + {S_3}} \right) = DO:OB$

证明：第一条根据共边模型显然成立；

$\hspace{2.3em}$而第二条根据比例的性质也可以得到；

$\hspace{2.3em}$如果把一个比按照同样的比例增加，那么这个比是保持不变的，如：$1:2 = 3:6$，则$1:2 = 3:6 = (1 + 3):(2 + 6)$

2. 梯形

• 上面一般四边形的三个结论

• 翅膀相等：$S_2=S_4$

• 比例：若$AD:BC=a:b$，这$S_1:S_3=a^2:b^2$

证明：因为$AD//BC$，所以${S_{\vartriangle ABC}}{\text{ = }}{S_{\vartriangle DBC}}$，即${S_2}{\text{ + }}{S_3}{\text{ = }}{S_3} + {S_4}$，所以${S_2} = {S_4}$。

因为$AD:BC=a:b$，所以${S_{\vartriangle ADC}}:{S_{\vartriangle ABC}} = a:b$（高相同），所以$DO:OB = {S_{\vartriangle ADC}}:{S_{\vartriangle ABC}} = a:b$，同理$AO:OC=a:b$，根据鸟头模型：$\dfrac{{{S_{\vartriangle AOD}}}}{{{S_{\vartriangle BOC}}}} = \dfrac{{AO}}{{OC}} \times \dfrac{{OD}}{{OB}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}$

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四、燕尾模型

在三角形$ABC$中，$AD$、$BE$、$CF$相交于一点$O$，则${S_{\vartriangle ABO}}:{S_{\vartriangle ACO}} = BD:DC$，其他两个方向同理。

证明：${S_{\vartriangle ABD}}:{S_{\vartriangle ACD}} = {S_{\vartriangle OBD}}:{S_{\vartriangle OCD}} = BD:DC$，那么这两个相同的比相减比还是不变，如：$1:2 = 3:6 = \left( {3 - 1} \right):\left( {6 - 2} \right)$

我燕尾模型给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 $\triangle ABO$和 $\triangle ACO$的形状很象燕子的尾巴，所以这个模型被称为燕尾模型．该模型在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径．

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五、相似模型