北京化工大学 2013-2014 学年 第二学期考试题答案整理

考试答案

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一、
解：
（1）特征多项式:

$$\vert\lambda {I}-{A} \vert= \begin{vmatrix} \lambda +1 &-1 &0 &0\\ 4 & \lambda-3 &0 &0\\ -1 & 0 & \lambda -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \lambda -1\\ \end{vmatrix}\\ =((\lambda+1)(\lambda -3)+4)(\lambda-2)(\lambda-1) =(\lambda-1)^3(\lambda-2)$$
令$\vert\lambda {I}-{A} \vert=0$，解得$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1,\lambda_4=2$.
(2)利用行列式因子求$A$的smith标准型。
显然$d_1=D_1=1$;
因为$\begin{vmatrix}\lambda +1 &-1\\4 & \lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2$
而$\begin{vmatrix}4 & \lambda-3\\-1 & 0\end{vmatrix}=(\lambda-3)$
故$d_2=D_2/D_1=1$；
$d_3=D_3/D_2=(\lambda-1)(\lambda-2)$
$d_4=D_4/D_3=(\lambda-1)^2$
因此$A$的smith标准型为 $$\vert\lambda {I}-{A} \vert= \begin{vmatrix} 1 &0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda -2) & 0\\ 0 & 0 & 0 & (\lambda -1)^2\\ \end{vmatrix}$$