数学分析(卓里奇)笔记

数学分析 卓里奇 作者：岳绍圣

说明

这是我在读卓里奇的数学分析过程中，对每一小节记录了关键词，还有一些简要的内容，以备日后快速复习使用。

第一章 一些通用的数学概念与记号

1. 逻辑符号

1.1 关系与括号

关键词：充分必要条件，

• 约定“运算次序”是为了节省括号。

1.2 关于证明的注记

关键词：古典的推证法则，排中律，反证法

• 论断的“证明”的含义

1.3 某些专门记号

关键词：证明的开始和结束，定义，简缩记法

• :=表示定义
• =:表示减缩记法，即简记
• ◀▶表示证明的开始和结束

1.4 最后的注记

关键词：

• 数学分析的最重要的一些定理和工具早在17，18世纪就有了，然而这些结论的基础——极限理论，以及这个理论所必需的实数理论却在19世纪才被完善。

2. 集与集的初等运算

2.1 集合的概念

关键词：集合，类，元素，康托尔，朴素集合论，罗素悖论，公理化集合论

• 19世纪末--20世纪初，集合论语言是最通用的数学语言
• 甚至能对数学下定义：数学就是研究集合上各种结构（关系）的科学
• 若$x$是一事物，$P$是一性质，$P(X)$表示$x$有性质$P$.
• $\{x|P(x)\}$表示具有性质$P$的一切事物的类
• 康托尔的朴素集合论存在悖论，因而只能引进几个假设（公理），来使集合论完备和自洽。
• 一切集合的集合不是集合

2.2 包含关系

关键词：存在量词，全称量词，真子集，空子集

2.3 最简单的集合运算

关键词：并集，交集，差集，补集，直积，第一射影，第二射影

• $A\backslash B:=\{x|x\in A\land x\notin B\}$
• $C_MA$
• 德·摩根规则：
  
  • $C_M(A\cup B)=C_MA\cap C_MB$
  • $C_M(A\cap B)=C_MA\cup C_MB$

3. 函数

3.1 函数（映射）的概念

关键词：对应，函数，泛函，测地线，$n$质点的构形空间

• $f:X\to Y$
• $X$集合等于定义域，$Y$集合大于等于值域

3.2 映射的简单分类

关键词：像，原像，满射，单射，双射，逆映射，

• 原像永远有意义，而逆函数不总是有意义

3.3 函数的复合与互逆映射

关键词：复合映射，迭代法，恒等映射

3.4 作为关系的函数，函数的图像

关键词：关系，偏序关系，序关系

• 由一些序对(x,y)组成的任一集，叫做一个关系
• 等价关系：反身性，对称性，传递性
• 偏序关系：反身性，传递性，反对称性
• 如果$(x\mathcal{R}y_1)\land (x\mathcal{R}y_2)\Rightarrow(y_1=y_2)$，就说，关系$\mathcal{R}$是一个函数关系
• 函数关系叫做函数

4. 某些补充

4.1 集的势(基数)

关键词：等势，势（基数），有穷集，无穷集，康托尔定理

4.2 公理化集合论

关键词：

1. 容积公理
2. 分出公理
3. 并公理
4. 对公理
5. 子集之集的公理
   公理1-5限制了形成新集的可能。
6. 无穷公理
7. 置换公理
8. 选择公理

4.3 关于数学命题的逻辑结构及其用集合论语言的写法的注记

关键词

• 简记$\exists !xP(x)$：存在唯一客体$x$具有性质$P$.
• $\mathbb{R}实数$