数学物理方法笔记

复变函数 作者：岳绍圣

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引言:本笔记参考文献:《数学物理方法》第三版,梁昆淼编.

第一篇 复变函数论

第一章 复变函数

复数的运算
复数的乘,除,乘方和开方等运算,采用三角式或指数式比较方便:

$$z_1z_2=\rho_1\rho_2[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+\mathrm{i}\sin(\varphi_1+\varphi_2)]=\rho_1\rho_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_1+\varphi_2)}$$

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+\mathrm{i}\sin(\varphi_1-\varphi_2)]=\frac{\rho_1}{\rho_2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2)}$$

$$z^n=\rho^n[\cos(n\varphi)+\mathrm{i}\sin(n\varphi)]=\rho^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n\varphi)}$$

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}[\cos\frac{\varphi}{n}+\mathrm{i}\sin\frac{\varphi}{n}]=\sqrt[n]{\rho}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\varphi}{n}}$$

$$zz^*=|z|^2,zz=z^2$$

复变函数
解析函数
定义域不是一般的点集,何时区域.
复变函数例

$$\sin z=\frac{1}{2\mathrm{i}}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z})$$

$$\cos z=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z})$$

$$\sinh z=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{z}-\mathrm{e}^{-z})$$

$$\cosh z=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{z}+\mathrm{e}^{-z})$$

导数

$$f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$$

当$\Delta z$沿实轴方向逼近0时,即$\Delta y=0,\Delta z=\Delta x\to 0$:

$$\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}$$

当$\Delta z$沿虚轴方向逼近0时,即$\Delta x=0,\Delta z=\mathrm{i}\Delta y\to 0$:

$$\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta z}=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}$$

函数$f(z)$可导的充分必要条件是:函数$f(z)$的偏导数$\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$存在,且连续,并且满足柯西-黎曼方程.