@why-math 2017-05-17T03:06:57.000000Z 字数 1893 阅读 4425

偏微分方程数值解

teaching

参考教材: 微分方程数值解(第四版),李荣华,刘播;

一, 实验报告题目

(1) 上机实践：利用有限差分法去求解

$\begin{aligned}&-u''(x)+u(x)=f(x),\\ & u(-1)=0,\quad u(1)=0.\end{aligned}$
真解为

$u(x)=e^{-x^2}(1-x^2)$

(2) 上机实践: 教材PP. 112. 3.1.1

给定如下求解个维热传导方程的数值格式：

$u_j^{n+1}=ru_{j+1}^n+(1-2r)u_j^n+ru_{j-1}^n+\tau f_j$
分别取

$r=\frac{5}{11},\frac{5}{9}$ ,用上面格式作数值实验，观察误差的增长规律，并说明

$r=\frac{5}{11}$ 时稳定，

$\frac{5}{9}$ 时不稳定。

运行如下测试脚本 errortest.m:

%% 针对不同的 r ， 测试向前差分格式中初始误差随迭代的传播情况
%  
%  $$ u_j^{n+1}=ru_{j+1}^n+(1-2r)u_j^n+ru_{j-1}^n+\tau f_j $$
%
%  作者：魏华祎 <weihuayi@xtu.edu.cn>
N = 10;
epsilon = 0.0001;
maxit = 100;
r = 5/9;
E1 = errorvary(N, r, epsilon, maxit);
r = 5/11;
E2 = errorvary(N,r,epsilon, maxit);
% 显示 r= 5/9 初始误差和第 100 个时间步的误差
disp(E1(:,[1,100]));
% 显示 r= 5/11 初始误差和第 100 个时间步的误差
disp(E2(:,[1,100]));

函数 errorvary定义如下：

function E = errorvary(N,r,epsilon,maxit)
%% ERRORVARY 给定有 N 个节点的网格，实验检验不同 r 清况下，初始误差随时间推进的变化情况
%  
%  输入参数：
%       N 网格节点数
%       r 网格比
%       epsilon 第 round(N/2) 个网格节点处的初始误差
%       maxit 最大迭代步数
%  输出参数：
%      E N*maxit 阶矩阵，E(:,i) 表示第 i 个时间层上的每个网格点处的误差
% 
%  作者：魏华祎 <weihuayi@xtu.edu.cn>
E = zeros(N,maxit);
E(round(N/2),1) = epsilon;
d = 1 - 2*ones(N-2,1)*r;
c = ones(N-3,1)*r;
A = diag(c,-1) + diag(c,1)+diag(d);
for i = 2:maxit
   E(2:end-1,i) = A*E(2:end-1,i-1);
end
end

(3) 上机实践: 用向前差分求解下面热传导方程, 并观察最大模误差的变化

$\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t),\\ & u(L,t)=u_L(x),\quad u(R,t)=u_R(x),\\ & u(x,0)=u_0(x). \end{aligned}$

其中
空间区间为 $[L,R]=[0,1]$ ;
时间区间 $[0,0.1]$ ;
$a = 1$ ;
真解

$u(x,t) = \sin(2\pi x)e^{10t}$

把真解代入上面模型, 即可得到相关的参数.

最大模误差定义如下：

$E = \max_{x_i,t_j}|u(x_i,t_j) - U(i,j)|$

即所有网格点处数值解和真解误差绝对值的最大值, 最大模误差 $E$ 与时间步长 $\tau$ 和空间步长 $h$ 满足如下关系：

$E = o(\tau+h^2)$

所以，当 $\tau$ 变为 $\tau \over 4$ , $h$ 变为 $h \over 2$ 时， $E$ 应变为 $E \over 4$ .

示例Matlab代码请参考这里;

(4) 上机实践: 教材PP. 158. 习题4和5，实例代码见FDM-案例3代码（提取码：173a）.

(5) 上机实践：教材 P. 181, 实习题 2.

(6) 上机实践：教材 P. 211 习题

用 Ritz-Galerkin 方法求边值问题

$\begin{cases} u''+u=x^2, & 0 < x < 1,\\ u(0) = 0, u(1) = 1 \end{cases}$
的第

$n$ 次近似

$u_n(x)$ , 基函数为

$\phi_i(x)=sin(i\pi x),i=1,2,...n$ . 并用表格列出

$\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}$
三点处的真解和

$n=1,2,3,4$ 时的数值解。