Atcoder 题解

Atcoder Beginner Contest 266 problem D 题解

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题目链接：点我

题目大意

一条路上有$5$个格子,分别是$0,1,2,3,4$。一共有$N$条蛇，每条蛇有三个属性:$t_i,x_i,w_i$分别表示这条蛇的出现的时间，出现的位置和这条蛇的价值。

现在，一个人要来抓蛇。他初始在$0$的位置。每一秒钟,这个人可以向前一格，向后一格，或者在原地不动。第$i$条蛇会在$t_i$的时间从$x_i$的格子钻出来。如果此时这个人恰好在$x_i$的位置，那么他就可以抓住这条蛇，并获得它的价值$w_i$。问这个人可以获得的总价值最大是多少?

样例输入1

3
1 0 100
3 3 10
5 4 1

样例输出1

101

样例解释1

• 在$0$号格子等待$1$秒钟，然后在时间$1$抓住$1$号蛇，得到价值$100$。
• 前往$4$号格子，在时间$5$抓住$3$号蛇，得到价值$1$。

总价值为$101$，这是最大的了。

样例输入2

3
1 4 1
2 4 1
3 4 1

样例输出2

0

样例输入3

10
1 4 602436426
2 1 623690081
3 3 262703497
4 4 628894325
5 3 450968417
6 1 161735902
7 1 707723857
8 2 802329211
9 0 317063340
10 2 125660016

样例输出3

2978279323

数据范围

• $1 \leq N \leq 10^5$
• $0 < t_1 < t_2 < ... <t_N \leq 10^5$
• $0 \leq x_i \leq 4$
• $1 \leq w_i \leq 10^9$
• 所有输入均为整型数。

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解析

本蒟蒻看到这道题，第一反应是贪心，并且分了两种情况来贪：

1. 根据时间贪心
2. 根据价值贪心

不过，本蒟蒻很快就 Hack 掉了贪心，证明如下:

1.如果根据时间贪心，那么这组数据就不正确：

2
4 54 1
5 0 100

根据时间来看，我们应该走到$4$号格子得到价值$1$。但实际上，我们如果一直待着不动，那么我们会得到价值$100$。显然后者更优，但并不满足时间贪心的条件。

2.如果根据价值贪心，那么这组数据就不正确：

3
4 4 5
6 1 2
7 0 4

根据价值贪心的话，我们会选择走到$4$号格子得到价值$5$，然后就得不到更多价值了。但实际上，若果我们只走到$1$号格子上并等待到$6$秒，然后第$7$秒再走到$0$号格子，这样可以抓住两条蛇得到价值$6$。显然后者更优，但并不满足价值贪心的条件。

至此，贪心全面崩盘。

贪心不行，那肯定就是$dp$来凑了嘛！我们观察到时间$t$是严格递增的，给出的格子数目又很小，于是，我们可以定义一下状态：

$f[i][j]$表示第$i$秒时这个人在$j$号格子时能获得的最大价值数。

由于这个人每秒可以选择做三件事，于是$f$数组可以这样转移：

$$f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j],f[i-1][j+1])$$

如果说在时间$i$,格子$j$上刚好有一条蛇出现的话，那么就要加上这条蛇的价值：

$$f[i][j]+=a[id]$$ $id$表示$i$时间出现的是第几条蛇。可以用二分求得。

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代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n;
int t[N],x[N],w[N];
long long ans,f[N][6];//注意数据范围，要用long long存储答案
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>t[i]>>x[i]>>w[i];
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    f[0][0]=0;//初始化。0时间时在0号格子，什么也没做，所得到的的价值是0
    for(int i=1;i<=t[n];i++){
        int res=lower_bound(t+1,t+n+1,i)-t,X,W;
        if(t[res]!=i) X=233;
        else X=x[res],W=w[res];//用二分找到当前时间是否有蛇
        for(int j=0;j<=4;j++){
            f[i][j]=max(f[i-1][j+1],max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]));
            if(X==j) f[i][j]+=W;//如果有蛇,加上价值
        }
    }
    for(int i=0;i<=4;i++) ans=max(ans,f[t[n]][i]);//对五个格子都要扫一遍，找到最大值
    cout<<ans;
}

完结撒花~~~