Jacobi 迭代法

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Jacobi 迭代法的构造过程

从线性方程组的基本形式出发：

$$Ax = b$$
我们对系数矩阵 $A$ 进行分裂处理。令 $D$ 为 $A$ 的对角矩阵部分，即：
$$D = \mathrm{diag}(A)$$
则可将 $A$ 分解为：
$$A = (A - D) + D$$

将其代入原方程，得：

$$(D + (A - D))x = b \quad \Rightarrow \quad Dx = (D - A)x + b$$

由于 $D$ 是对角矩阵，在 $A_{ii} \neq 0$（对所有 $i$）的前提下，$D^{-1}$ 存在，因此可两边同时左乘 $D^{-1}$，得到：

$$x = D^{-1}(D - A)x + D^{-1}b$$

由此构造出迭代格式：

$$x^{(k+1)} = D^{-1}(D - A)x^{(k)} + D^{-1}b$$

记：

$$B_J = D^{-1}(D - A) = I - D^{-1}A, \quad f_J = D^{-1}b$$
则迭代公式可简写为：
$$x^{(k+1)} = B_J x^{(k)} + f_J$$

至此，Jacobi 迭代格式已建立。只需给定初始向量 $x^{(0)}$，并计算出迭代矩阵 $B_J$ 和常数项 $f_J$，即可通过循环迭代逐步逼近方程的解。

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Jacobi 方法的分量形式 （更适应于编程）

若矩阵 $A$ 为 $n \times n$ 阶，则 Jacobi 迭代的分量级表达式为：

$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{A_{ii}} \left( b_i - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} A_{ij} x_j^{(k)} \right), \quad i = 1, 2, \dots, n$$

公式说明：

• 求和部分遍历第 $i$ 行中除对角元外的所有列 $j \neq i$；
• $x_j^{(k)}$ 表示第 $k$ 次迭代中变量 $x_j$ 的取值；
• 要求 $A_{ii} \neq 0$ 对所有 $i$ 成立，以保证除法合法；
• 所有新值 $x_i^{(k+1)}$ 均基于上一轮迭代的完整旧值 $x^{(k)}$ 计算，不使用中间更新值，具有天然的并行性。
  ----【这里特意解释一下为什么“并行”很重要：假设求解的是一个4变量系统，则x有4个分量，每一轮迭代中，有要循环四次上述公式计算，依次求解x1，x2，x3，x4，如果是包含1000个变量的系统，则一轮迭代就需要循环1000次，这会产生巨大的时间开销；但如果一轮迭代中，开辟1000个进程，同时计算这个1000个变量，那么一轮迭代的时间开销由原来的1000次缩短为1次（单车道扩宽为千车道！）】

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Jacobi 方法的核心思想：利用当前迭代中其他变量的旧值来逐个更新每一个变量，是一种简单而经典的定常迭代法。尽管收敛速度可能较慢，但其结构清晰、易于实现。

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