扩散项

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这一节用于展示扩散项处理；

扩散项离散

考虑一个二维的笛卡尔结构化网格九宫格，中央是控制体C，四周相邻着控制体 W, E, N, S, ，分别代表着控制体C的西方，东方，北方，南方，控制体C的四个面分别是w，e，n，s；

关注控制体C的扩散项处理，单独展示扩散项处理有些单调，我们不妨在一个方程的背景下讨论：

$$-\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi) = Q$$
这就是一个扩散方程，Q 表示源项，$\phi$ 表示方程求解的一个标量，$\Gamma$ 是扩散系数
（例如$\phi$是温度的时候这就是个热扩散方程，是质量分数的时候这就是个质量扩散方程）

采用有限体积法的思想，对控制体C做体积分，左边的散度项采用散度定理，可以从体积分转化为面积分，右侧的源项采用控制体形心值来近似：

$$\begin{align*} -\int_V \nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi) \, dV &= \int_V Q \, dV \\ -\int_S (\Gamma \nabla \phi) \cdot d\mathbf{S} &= \int_V Q \, dV = Q_C V_C \end{align*}$$
控制体的面积分可以转化为各个面的求和：
$$-\sum_f (\Gamma \nabla \phi)_f \cdot \mathbf{S}_f = Q_C V_C \\ $$
在此特意说明各物理量的方向性问题；
$$\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j}, \quad \mathbf{S}_e = \Delta y \cdot \mathbf{i}, \quad \mathbf{S}_w = -\Delta y \cdot \mathbf{i}, \quad \mathbf{S}_N = \Delta x \cdot \mathbf{j}, \quad \mathbf{S}_S = -\Delta x \cdot \mathbf{j} \\ $$
代入之后，有梯度方程形式：

$$- \left(\Gamma \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_e \Delta y + \left(\Gamma \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_w \Delta y - \left(\Gamma \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)_n \Delta x + \left(\Gamma \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)_s \Delta x = Q_C V_C$$

每一个面上的梯度导数的计算有则是需要采用相应的数值格式来处理，处理后可以表示为个控制体心标量的函数，故在此先考虑为：

$$\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e = f_e(\phi_C, \phi_E), \quad \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_w = f_w(\phi_C, \phi_W) \\ \left( \frac{\partial \phi}{\partial y} \right)_n = f_n(\phi_C, \phi_N), \quad \left( \frac{\partial \phi}{\partial y} \right)_s = f_s(\phi_C, \phi_S) \\ $$

假设采用了某种线性的梯度导数算法，导数就会表示成关于 $\phi$ 的的一个线性表达式，则最终原扩散方程可以转化为一个关于各控制体的一个代数方程：

$$a_C \phi_C + a_E \phi_E + a_W \phi_W + a_N \phi_N + a_S \phi_S = Q_C V_C$$
注意，到这一步，我们需要指出，这个代数方程中的未知数是$\phi$ ,也就是这个关于控制体C的代数扩散方程包含五个未知数，此时还不能求解，我们还需要边界条件

边界条件处理

狄利克雷边界条件（给定边值），即针对于上面的代数方程，某一个 $\phi_F$ 为给定的，原五变量方程变为四变量方程（或者三变量方程，比如角点控制体）；【例如：恒温壁】

冯·诺伊曼边界条件（给定边梯度），即针对上面的梯度方程，某一个梯度已经给定了，不需要再离散表示了；【例如：绝热壁】

罗宾边界条件（给定边值和边梯度的一个关系），$\alpha = 0$ 则退化为冯·诺伊曼边界条件，若 $\beta = 0$ 则退化为狄利克雷边界条件 【例如：对流换热】

$$\alpha \phi + \beta \frac{\partial \phi}{\partial n} = \gamma$$

非均匀扩散系数

当两个相邻控制体具有不同的扩散系数时，界面扩散系数：
均匀网格的界面扩散系数具体计算方法应该采用调和平均数来计算；
为什么不是采用算数平均值，举一个简单的例子，计算流固交界面的扩散系数时，两侧的扩散系数存在突变，如果用平均值计算，这意味着我们认为界面处的材料是一种固液平均介质连续光滑过渡的，但这种假设对于固液交界明显是非物理的，而之所以采用调和平均，这是基于交界面两侧通量守恒推导出来的结果，这是物理的结果
详细推导见Moukalled教授的书
一般只要不是扩散系数突变的情况，用算数平均值也是没有问题的