Quantum Simulation for Plasma

动量的编码

将动量编码到一个量子态上

$$|p\rangle = \sum_i a_i |p_i\rangle$$

其中$|p_i\rangle$是动量空间中一个维度上的不同动量值，$a_i$是处于对应动量值的粒子数,那么对于一种粒子s,它的动量就可以编码为$|p^s\rangle$，不同的粒子编码为$|p^1\rangle\otimes|p^2\rangle\otimes\dots\otimes|p^s\rangle$即可。那么只要知道总粒子数目，$|p\rangle$就编码了这个单粒子系统的动量信息。

坐标的编码

类似于动量，将处于不同格点位置的粒子数目各自编码到一个量子态即可

$$|x\rangle = \sum_i p_i |x_i\rangle$$

运动方程

一个系统的状态用$|x\rangle\otimes|p\rangle$编码

1609中的迭代格式可以写成：

$$t_{k+1} = t_k + \Delta t$$

$$x_{k+1} = x_k + \Delta t \frac{p_k}{\gamma_k}$$

假若已知$|p_k\rangle$，由于$\gamma_k$是依赖于一个粒子的单变量函数，不会对时间复杂度有较大贡献，为了简单我们先忽略它的贡献。定义位置坐标的演化幺正算符$U_x$，使得$|x_{k+1}\rangle = U_x |x_k\rangle$