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title: "Filter"
author: "Roger"
date: "Wednesday, December 24, 2014"

output: html_document

Aim

为了能够计算出在水体中使用净化器的规模，而需要对具体的相关参数进行计算

模型

• 假设酶被分泌进入待净化的水体
• 酶在水体中的浓度参考了制药企业提供的经验值的中位数
• 竹筏的面基大约为1m^2!
• 水中酶的初始浓度：
  $$[E_0]=\frac{\frac{25 mg}{Molecular~mass~of~enzyme~[g/mol]}\centerdot100~L\centerdot Number~of~rafts}{**Flowrate~of~river~in~L~per~day**}$$

• 假定水体中酶的浓度为$\lambda$则有：
  

  $$[E](t) = [E_0]exp(-\lambda t ) = [E_0]exp(-\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}t)$$

• 为了计算底物浓度的演化，引入了Michaelis-Menten公式
  

  $$-\frac{d[S]}{dt}=[E]k_{cat}\frac{S}{K_M+[S]} \approx \frac{k_{cat}}{K_M}[E][S]=Activity\centerdot[E][S]$$
  积分得到
  $$[S](t)=[S_0]\centerdot exp(-\frac{[E_0]\centerdot Activity}{\lambda}\centerdot (1-e^{-\lambda t}))$$
  最后通过回带可以得到下面关于竹筏数量的表达式:
  $$Number of rafts = [\ln(\frac{[S_0]}{[S(t)]})\centerdot\frac{\lambda}{[E_0]_{per~raft}\centerdot Activity\centerdot(1-e^{-\lambda t})}]$$

PH和渗透压的影响

这里使用的酶的活性受到PH和渗透压(盐度)的影响,下图是活性与PH和盐度的关系：

验证

利用双氯芬酸验证了以上模型

结论

作为大范围水体污染的解决方案，净化双氯芬酸至EU标准以下需要3000支竹筏

扩散模型

• Aim: 了解细胞壁细胞膜是如何影响污染物的扩散
• Model：使用的是Advection扩散方程
  $$\frac{\partial c}{\partial t}=D\centerdot \nabla^2c-v\centerdot \frac{\partial c}{\partial x}-R\centerdot c$$

D是扩散系数,v是流动速度,R是酶的降解度
- 数值算法:有限元
- 边界条件:设置了一个细胞壁构成的边界条件:

$$\frac{\partial c_{inside}}{\partial t} = k\centerdot(c_{outside}-c_{inside})=-\frac{\partial c_{outside}}{\partial t}$$
k是一个由细胞壁扩散系数产生的比例常数

Kill Switch Modeling

Purpose

Kill Switch 的目的是在moss离开过滤系统时杀死moss，所以下面我们有两种思路：

• siRNA method:当条件被触发后，siRNA将被表达出抑制主要基因表达
• nuclease method：当条件触发后，核酸酶将被释放用来破坏细胞的DNA

为了比较这两种方法的优劣，TU-Munich组将细胞活性作为一个[0,1]的权值进行计算。

siRNA 模拟

1.模型如下：

$$\dot V= -k_1 \centerdot R \centerdot V + k_2 \centerdot (V-1)\centerdot(R-1)$$
$$\dot R=k_3\centerdot V-k_4\centerdot R$$

初始条件是V(0)=1,R(0)=0,(即t=0时,moss活性最高,siRNA浓度最低)
用上面的表达式，取适当的参数，可以得到这样的结果

2.驻点V * 和 R *的计算如下
导数为零有：

$$0=k_3\centerdot V^*-k_4\centerdot R*$$
$$0=-k_1\centerdot V^*\centerdot R^*+k_2\centerdot(V^*-1)\centerdot(R^*-1)$$
$$\Downarrow$$
$$R^*=\frac{k_3}{k_4}\centerdot V^*$$

记 $\alpha=\frac{k_1}{k_2}$以及$\beta=\frac{k_3}{k_4}$于是有

$$0=\beta\centerdot(1-\alpha)\centerdot (V^*)^2-(1+\beta)\centerdot V^*+1$$
如果有$\alpha=1$那么有$V^*=\frac{1}{1+\beta}$

以及$R^*=\frac{\beta}{1+beta}$
为了分析它们的稳定性，需要计算Hessian矩阵的特征值

$$\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial\dot V}{\partial V}& \frac{\partial\dot V}{\partial R}\\ \frac{\partial\dot R}{\partial V} &\frac{\partial\dot R}{\partial R} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{1+\beta}\centerdot(k_1\beta+k_2)& -\frac{1}{1+\beta}\centerdot(k_1+k_2\beta)\\ k_3 &-k_4 \end{array} \right)$$
可以算出它的特征值为:
$$\lambda_{1,2} =\frac{1}{2}\centerdot(-(k_1\beta+k_2+k_4)\pm\sqrt{(k_1\beta+k_2+k_4)^2-4\centerdot(k_4\centerdot(k_1\beta+k_2)+k_3\centerdot(k_1+k_2\beta))})$$