多次Cooling

note

---

之前的推导我们已经得到了经过$k$次冷却后的态是

$$\begin{aligned} D^{\otimes k}|\psi\rangle &= \frac{1}{2^k}\sum_{j = 0}^{k}C_k^j (1-ie^{i\gamma}U)^j(1+ie^{i\gamma}U)^{k-j}|\psi\rangle|\eta_j\rangle\\ &= \sum_{j=0}^{k}\sum_{i=1}^{2^n}\sqrt{p_i C_k^j (\frac{1}{2}-a_i)^j(\frac{1}{2}+a_i)^{k-j}}|e_i\rangle|\eta_j\rangle \end{aligned}$$

其中$|\eta_j\rangle$是相对应的辅助比特，分别代表含有$j$个0的辅助比特的量子态。所以测量辅助比特以后得到的$j$个零的概率是

$$\sum_{i=1}^{2^n} C_k^j p_i (\frac{1}{2}-a_i)^j(\frac{1}{2}+a_i)^{k-j}$$

所对应的态是

$$\sum_{i=1}^{2^n}\sqrt{p_i C_k^j (\frac{1}{2}-a_i)^j(\frac{1}{2}+a_i)^{k-j}}|e_i\rangle$$

假如我们目前的操作步骤是：绝热演化 -> 冷却 -> 测量 -> 绝热演化 -> 冷却 -> 测量 -> ...

那么我们对一个绝热演化过程进行一种分割：$\{t_{0},t_{1},t_{2},\cdots,t_{q}\}$
在每一个分割中插入一次冷却：$D_{t}$， 这里角标对应$t$时刻AQC的系统哈密顿量。
记标准的AQC过程为 $\prod_{i=0}^{q-1} U_{t_{i+1},t_i} |\psi_0\rangle$
加入冷却的AQC过程为 $U_{t_{q},t_{q-1}}\prod_{i=0}^{q-2} D_{t_{i+1}} U_{t_{i+1},t_i}|\psi_0\rangle$

那么在每次测量的时候，都会根据测量结果中零的个数得到$k$种量子态中的一个，而其中有一些是被加热了的，有一些是被冷却了的。（冷却->辅助比特为$|0\rangle$，加热->辅助比特为$|1\rangle$)

冷却后测量

我们假设每次只保留测量结果拥有至少$m$个0的态。如果失败就重新开始，并将之前的操作也计入总时间内。

数值程序一

这个的数值模拟一开始是使用Monte Carlo的方法来通过抽样获得一个成功概率和总的演化时间的期望的。具体分为这样几步

• 在每次测量的时候按照上面算出的概率分布，随机地决定出一个测量结果（获得了几个零）
• 决定这次冷却是否失败：
  
  • 如果失败，系统重置，总时间累计（也就是总时间不重置，只有系统重置）
  • 如果成功，返回相对应的态，进行后面的演化
• 重复上述步骤，直到整个演化线路图完成
• 计算这一次计算的成功概率=系统最终获得的态，在问题哈密顿量$H_P$的基态上的概率（也就是获得正确答案的概率），输出总时间和成功概率

重复上面整个过程$N$次，最后得到成功概率的平均值和总时间的平均值。

数值程序二

数值程序一有一个比较大的缺点是最后的结果要在$N=1000$以上才能比较平滑（对系统演化时间$T$来说），而且总的计算量比较大，很费时间。所以我后来考虑直接计算出成功概率的期望，然后用MC求总时间的平均值。

基于之前的结果，我们知道每次冷却后获得不同态的概率分布，那么经过一系列冷却后，假如没有失败，最终获得态

$$U_{t_{q+1},t_{q+2}}\prod_{i=1}^{q} D^{j_i}_{t_{i+1}}U_{t_i,t_{i+1}}|\phi_0\rangle$$

的概率是

$$(\prod_{l=1}^{q} \sum_{i=1}^{2^n} C_k^{j_l} p^{l}_i (\frac{1}{2}-a_i^l)^{j_l}(\frac{1}{2}+a_i^l)^{k-j_l} )$$

这里$a^l_i$是指在第$l$次冷却时，由系统哈密顿量算出的$a_i^l = \sin{(E_i^l t-\gamma)}$, 这里$E_i^l$对应第$l$次冷却时，系统哈密顿量的基态$|e_i^l\rangle$所对应的本征值。$j_l$是这$l$次冷却每次获得的0的个数。

然后现在考虑失败的情况，我们假设在第$v$次冷却成功的概率为$\epsilon^v = \sum_{j_v=m}^{k} \sum_{i=1}^{2^n} C_k^{j_v} p^{v}_i (\frac{1}{2}-a_i^v)^{j_v}(\frac{1}{2}+a_i^v)^{k-j_v}$, 同时将在第$v$次冷却时获得$j$个零的概率记作$\epsilon_{j}^v = \sum_{i=1}^{2^n} C_k^{j} p^{v}_i (\frac{1}{2}-a_i^v)^{j}(\frac{1}{2}+a_i^v)^{k-j}$， 那么$\epsilon^v = \sum_{j=m}^k \epsilon_j^v$。相应地失败的概率为$1-\epsilon^v$。那么我们演化到第$v$次失败的概率就是

$$(\prod_{c=1}^{v-1}\epsilon_{j_c}^c)(1-\epsilon^{v})$$

其中$j_c$是第$c$次冷却获得0的个数，假设这样的失败一共重复了$g_v$次，那么演化到第$l$次成功获得$j_l$个0，但之前失败了$g_1,g_2,\cdots,g_{l-1}$次的概率就是

$$\epsilon_{j_l}^l\prod_{v=1}^{l-1}((\prod_{c=1}^{v-1}\epsilon_{j_c}^c)(1-\epsilon^v))^{g_v}$$

所以在第$l$次，获得$j$个零的概率总共为

$$\begin{aligned} & \epsilon_{j_l}^l \sum_{m\le j_1,j_2,\cdots,j_{l-1}\le k} \sum_{g_1,g_2,\cdots,g_{l-1} = 0}^{\infty} \prod_{v=1}^{l}((\prod_{c=1}^{v-1}\epsilon_{j_c}^c)(1-\epsilon^v))^{g_v} = \\ & \epsilon_{j_l}^l \sum_{m\le j_1,j_2,\cdots,j_{l-1}\le k} \prod_{v=1}^{l}\sum_{g_v = 0}^{\infty}((\prod_{c=1}^{v-1}\epsilon_{j_c}^c)(1-\epsilon^v))^{g_v} = \\ & \epsilon_{j_l}^l \sum_{m\le j_1,j_2,\cdots,j_{l-1}\le k} \prod_{v=1}^{l}\frac{1}{1-((\prod_{c=1}^{v-1}\epsilon_{j_c}^c)(1-\epsilon^v))} \equiv P^l_j \end{aligned}$$

其中，我们规定$\prod_{c=1}^{0} \epsilon_{j_c}^c = 1$, 当$l=1$时，我们有在第一次冷却获得$j$个0的概率为

$$P_j^1 = \epsilon_j/\sum_{i=m}^{k}\epsilon_i$$

$l=2$时，我们有在第二次获得$j$个0的概率

$$P_j^2 = \epsilon^2_j \sum_{i=m}^{k}\frac{1}{\epsilon^1}\cdot\frac{1}{1-\epsilon^1_{i}(1-\epsilon^2)}$$

成功概率的期望就可以写成

$$\begin{aligned} \sum_{m\leq j_1,j_2,\cdots ,j_q \leq k}(\prod_{l=1}^{q} P_{j_l}^{l} ) (\langle e_0| U_{t_{q+1},t_{q+2}}\prod_{i=1}^{q} D^{j_i}_{t_{i+1}}U_{t_i,t_{i+1}}|\phi_0\rangle) \end{aligned}$$

这样不需要大量抽样，只需要每次冷却时更新各个态所对应的概率就可以了。总时间也使用类似的方式计算。

参数优化

对于现在这总冷却方案，实际上对于$t,\gamma$不需要遵守原来的不等式约束。这是因为原先限定$t,\gamma$的范围是为了使得$sin$函数单调，但是实际上，我们只要优化这两个参数使得基态前的系数相对最大就可以了。（也就是使得$1-ie^{i\gamma}U$这个算符的效果最大即可，为了防止发散我给原先论文中的优化目标函数外面套了一个exp），我用mathematica计算4比特的情况，比直接取$\gamma=0$要好。