题解

CodeChef LTM40CD

考虑三角形$ABC$，设$D$为内心，内切圆半径为$r$，$DT _ A\perp BC$，$DT _ B \perp AC$，$DT _ C \perp AB$。
设$x=T _ A B,y = T _ BC, z = T _ C A,p = x + y + z,a=BC,b=AC,c=AB$，那么有：

$$S _ {ABC} = p\cdot r = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p\cdot xyz}$$
所以：
$$r = \sqrt{\frac{xyz}{x + y + z}}$$
又有：
$$a=x+y,b=y+z,c=z+x\Rightarrow x = \frac{a - b + c}{2},y = \frac{a+b-c}{2}, z = \frac{-a+b+c}{2}$$
根据奇偶性结合上面两个式子判断一下，可以得知$x,y,z$均要是整数。
下面来考虑一下$x,y,z$的上界。
不妨设$x\leq y\leq z$，因为三角形中最大角$\geq \frac{\pi}{3}$，因此$x\leq \sqrt{3}\cdot r$。
利用放缩，可得：
$$r=\sqrt{\frac{xyz}{x + y + z}}\geq \sqrt{\frac{xy^2}{x+2y}}$$
因此可得$y$的上界：
$$\frac{r^2+r\sqrt{r^2+x^2}}{x}$$
$x$的上界不超过$200$，$y$的上界不超过$23000$，$z$可以直接用$x,y$算出来，因此是可以跑出来的。