概率论与数理统计

• 《概率论与数理统计教程》书中第三章多维随机变量及其分布3.33 连续场合的卷积公式，其中一个例题给出结论如下（P159附近）
  设 $X\sim N(\mu_1,\delta_1^2), Y\sim N(\mu_2,\delta_2^2)$， 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，那$Z=X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\delta_1^2+\delta_2^2)$
• 《概率论与数理统计教程》书中第五章统计量及其分布中5.3.2 样本均值及其抽样分布中（P253附近）
  定理5.3.3 设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是来自某个总体的样本，$\bar x$ 为样本均值。
  
  1. 若总体分布为 $N(\mu,\delta^2)$, 则 $\bar x$ 精确分布为 $N(\mu,\delta^2/n)$.

利用上面的两个结论，可以直接给出如下结论：
1. $\bar X\sim N(\mu_1,\delta_1^2/m)$
2. $\bar Y\sim N(\mu_2,\delta_2^2/n)$
3. $\bar X+\bar Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\delta_1^2/m+\delta_2^2/n)$
4. $\bar X-\bar Y\sim N(\mu_1-\mu_2,\delta_1^2/m+\delta_2^2/n)$
5. $4\bar X+8\bar Y\sim N(4\mu_1+8\mu_2,16\delta_1^2/m+64\delta_2^2/n)$
6. $\dfrac{(X_1-\mu_1)^2}{\delta_1^2}\sim\chi……2(1)$ 这一个是对样本归一化后平方，即$\hat x=\dfrac{(X_1-\mu_1)}{\delta_1}\sim N(0,1)$。
参考三大抽样分布（P269附近）$\hat x^2=\dfrac{(X_1-\mu_1)^2}{\delta_1^2}\sim \chi^2(1)$