@su 2014-10-10T11:29:02.000000Z 字数 1422 阅读 3367

数学分析第一章实数和数列极限（一）

数学分析

证明分数一定是有限小数或无限循环小数。
证明勾股定理(选做)。
证明 $\sqrt{n}$ 是无理数,其中 $n > 0$ 且 $n$ 非完全平方数。(首先考虑 $n=2$ 如何证明）
尝试说明任意两个不等有理数 $a < b$ 之间必定存在有理数 $c$ ，满足 $a< c< b$ .(说明了什么问题？)
什么是稠密? 有理数集在实数中稠密么？
一些不等式：
- 用数学归纳法证明 Chebychev 不等式： $设 a 1 \leq a 2 \leq \dots \leq a n, b 1 \leq b 2 \leq \dots b n, 则 \sum i = 1 n a i \sum i = 1 n b i \leq n \sum i = 1 n a i b i$ $设a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n, b1\leq b_2\leq\cdots b_n,则\sum^n_{i=1}a_i\sum^n_{i=1}b_i\leq n\sum^n_{i=1}a_ib_i$
- 设 $x, y\geq 0, m, n$ 为正整数，求证： $x^my^n + x^ny^m\leq x^{m+n}+y^{m+n}$
- 设 $n$ 为正整数，且 $x \ge 0, y\ge 0$ ,求证：当 $n>1$ 时 $x n + y n 2 \geq (x + y 2) n$ $\frac{x^n+y^n}{2}\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^n$ 等号成立当且仅当 $x=y$ 时成立。（证明时可以参考上题的结论）

数列极限的定义是什么?（务必理解，尽量口述出来，默写）
证明:对任意的 $\alpha > 0$ 有 $lim n \to \infty 1 n α = 0$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^\alpha}=0$ （用定义证明）。
证明： $lim n \to \infty n 1 / n = 1$ $\lim\limits_{n \to \infty}n^{1/n} = 1$ (提示：使用几何平均-算数平均不等式)
设 $a, b, c$ 是三个给定的实数，令 $a_0 =a, b_0=b, c_0=c$ 并归纳定义 $⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a n = b n - 1 + c n - 1 2, b n = c n - 1 + a n - 1 2, c n = a n - 1 + b n - 1 2 (n = 1, 2, 3, \dots)$ $\begin{cases}a_n=\frac{b_{n-1}+c_{n-1}}{2},\\b_n=\frac{c_{n-1}+a_{n-1}}{2},\\c_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}\end{cases}(n=1,2,3,\cdots)$ 求证： $lim n \to \infty a n = lim n \to \infty b n = lim n \to \infty c n = 1 3 (a + b + c)$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\frac{1}{3}(a+b+c)$

思考题:证明

lim n \to \infty \sum k = 1 n (1 + k n 2 - - - - - - \sqrt - 1) = 1 4

$\lim\limits_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\right)=\frac{1}{4}$

数学分析第一章 实数和数列极限（一）