解答
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解：
方法一 利用矩阵求解
给你一个复杂的方法求解。A=⎛⎝⎜⎜10−1−1100−11⎞⎠⎟⎟,α=⎛⎝⎜⎜abc⎞⎠⎟⎟,a2+b2+c2=9，则 (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=||Aα||2,计算矩阵 A 的特征值为 0,3−i3‾√2,3+i3‾√2.因为对于实矩阵 A 任意特征值 λ,有向量 x∈Rn，使得||Ax||=|λ|||x||2,所以存在向量 x0∈Rn 使得 ||Ax0||=|3+i3‾√2|||x0||=3||x0||2,又因为 x0 满足x0=⎛⎝⎜⎜a1b1c1⎞⎠⎟⎟,a21+b21+c21=9，所以 ||Ax0||=3×9=27,得出结果。
方法二
还可以用拉格朗日乘子法求解，。
方法三
利用均值不等式求解：
∵a−c=(a−b)+(b−c)
∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=2(a−b)2+2(b−c)2+2(a−b)(b−c)
根据均值不等式
(a−b)(b−c)≤(a−b)2+(b−c)22(a−b=b−c)
∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≤3(a−b)2+3(b−c)2
令m=a−b,则a=m+b,c=b−m,(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≤6m2
下面求
m2 的最大值。
∵a2+b2+c2=9，
∴(m+b)2+b2+(m−b)2=2m2+3b2=9
显然，
m2 的最大值为
92
∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≤6m2=6×92=27
