整值函数的一个问题

具体数学 数学

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问题描述

令 $a=2+\sqrt{3}$, 有 $n\in \mathbb{N}^{+}$, 求证明或推翻

$$4\lfloor an\rfloor=n+\lfloor a\lfloor an\rfloor\rfloor$$

我的想法

我感觉这个是对的。

展开：（定义 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$）

$4an-4\{an\}=n+a\lfloor an\rfloor-\{a\lfloor an\rfloor\}$

$\therefore 4an-4\{an\}=n+a^{2}n-a\{an\}-\{a\lfloor an\rfloor\}$

$\therefore (4a-(a^{2}+1))n-4\{an\}=-a\{an\}-\{a\lfloor an\rfloor\}$

又 $\because 4a-(a^{2}+1)=4\times(2+\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})^{2}-1=0$

$\therefore 4\{an\}=a\{an\}+\{a\lfloor an\rfloor\}$

又 $\because \{an\}=\{2\times n+\sqrt{3}\times n\}=\{n\sqrt{3}\}$

$\therefore 4\{n\sqrt{3}\}=a\{n\sqrt{3}\}+\{a\lfloor an\rfloor\}$

令 $\alpha=\{n\sqrt{3}\}$

$\therefore 4\alpha=a\alpha+\{a\lfloor an\rfloor\}$

$\therefore (4-a)\alpha=\{a\lfloor an\rfloor\}$

$\therefore (2-\sqrt{3})\alpha=\{a^2n-a\{an\}\}$

$\therefore (2-\sqrt{3})\alpha=\{a^2n-2\alpha-\alpha\sqrt{3}\}$

然后就推不下去了，用同余试了试，好像不太可以。

解决关键

设

$$\begin{equation} \sqrt{3}n=n+k+d \label{split} \end{equation}$$

其中 $k\in\mathbb{N^{+}},k\not=0,0\le d<1$
即 $k$ 为 $n(\sqrt{3}-1)$ 的整数部分，即 $d$ 为 $n(\sqrt{3}-1)$ 的小数部分。

解答

$\begin{align} 3n &=\sqrt{3}\times(\sqrt{3} \times n)\notag\\ &=\sqrt{3}\times(n+k+d)\notag && \text{代入}\eqref{split} \\ &=\sqrt{3}\times n+\sqrt{3}\times k+\sqrt{3}\times d\notag \end{align}$

把 $\sqrt{3}\times k+\sqrt{3}\times d$ 移到等式左边，得到：

$$\begin{equation} \sqrt{3}\times k=3n-\sqrt{3}\times n-\sqrt{3}\times d \label{sqrtkv} \end{equation}$$

展开左边：

$\begin{align} 4\lfloor an\rfloor &=4\lfloor(2+\sqrt{3})n\rfloor\notag && \text{代入}a \\ &=4\lfloor2n+\sqrt{3}n\rfloor\notag\\ &=8n+4\lfloor\sqrt{3}n\rfloor\notag && \text{由} 8n\in \mathbb{Z} \\ &=8n+4\lfloor n+k+d\rfloor\notag && \text{代入}\eqref{split} \\ &=12n+4k+4\lfloor d\rfloor\notag \\ &=12n+4k\label{eq_left} \\ \end{align}$

展开右边：

$\begin{align} n+\lfloor a\times\lfloor a\times n\rfloor\rfloor &=n+\lfloor(2+\sqrt{3})\lfloor(2+\sqrt{3})n\rfloor\rfloor\notag\\ &=n+\lfloor(2+\sqrt{3})(2n+\lfloor\sqrt{3}n\rfloor)\rfloor\notag\\ &=n+\lfloor4n+2n\sqrt{3}+(2+\sqrt{3})\lfloor\sqrt{3}n\rfloor\rfloor\notag\\ &=5n+\lfloor2n\sqrt{3}+2\lfloor\sqrt{3}n\rfloor+\sqrt{3}\lfloor\sqrt{3}n\rfloor\rfloor\notag\\ &=5n+\lfloor2n\sqrt{3}+2(n+k)+\sqrt{3}(n+k)\rfloor\notag && \text{代入}\eqref{split}\\ &=7n+2k+\lfloor3n\sqrt{3}+\sqrt{3}k\rfloor\notag \\ &=7n+2k+\lfloor3n+3k+3d+\sqrt{3}k\rfloor\notag && \text{代入}\eqref{split}\\ &=10n+5k+\lfloor3d+\sqrt{3}k\rfloor\notag \\ &=10n+5k+\lfloor3d+(3n-\sqrt{3}n-\sqrt{3}d)\rfloor\notag && \text{代入}\eqref{sqrtkv}\\ &=13n+5k-\lfloor\sqrt{3}n\rfloor\notag \\ &=13n+5k-\lfloor n+k+d\rfloor\notag && \text{代入}\eqref{split} \\ &=12n+4k-\lfloor d\rfloor\notag \\ &=12n+4k\label{eq_right} \\ \end{align}$

容易看出 $\eqref{eq_left}=\eqref{eq_right}$
$\therefore 4\times\lfloor a\times n\rfloor=n+\lfloor a\times\lfloor a\times n\rfloor\rfloor$ 证毕。

拓展：唯一性

有一数 $a\in\mathbb{R^+}$, 使得对于 $\forall n\in \mathbb{N^+}$, 存在

$$4\lfloor an\rfloor=n+\lfloor a\lfloor an\rfloor\rfloor$$

求 $a$ 的值。

解答

$\because a-1\le \lfloor a\rfloor\le a$
$\therefore \begin{cases} 4a(n-1)\le a\lfloor an\rfloor=n+\lfloor a\lfloor an\rfloor\rfloor\le n+a(\lfloor an\rfloor-1) \\ 4an\ge a\lfloor an\rfloor=n+\lfloor a\lfloor an\rfloor\rfloor\ge n+a\lfloor an\rfloor \\ \end{cases}$