线性代数1 行列式

数学 线性代数

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二阶行列式

所谓二阶行列式，是由四个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{21}$，$a_{22}$ 排列成含有两行两列形如 $\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

$$\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

三阶行列式

所谓三阶行列式，是由九个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{13}$，$a_{21}$，$a_{22}$，$a_{23}$，$a_{31}$，$a_{32}$，$a_{33}$ 排列成含有三行三列形如 $\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ 的式子，它表示

一个数值，其展开式为

$$\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| =a_{11}\left|\begin{array}{c} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|-a_{12} \left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|+a_{13} \left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|$$

n阶行列式

我们观察二、三阶行列式的定义，顺便定义一下一阶行列式：

（几乎全是复制）

所谓一阶行列式，是由一个数，如 $a_{11}$ 排列成含有一行一列形如 $\left|\begin{array}{c} a_{11} \end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

$$\left|\begin{array}{c} a_{11} \end{array}\right| =a_{11}$$

有了一阶行列式的定义，我们考虑像三阶行列式一样递归的定义二阶行列式：

$$\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| =a_{11}\left|\begin{array}{c} a_{22} \end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{c} a_{21} \end{array}\right|$$

至此，$n$ 阶行列式的定义几乎呼之欲出了：
所谓 $n$ 阶行列式，是由 $n^2$ 个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$\cdots$，$a_{nn}$ 排列成含有 $n$ 行 $n$ 列形如 $\left|\begin{array}{c} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

$$\left|\begin{array}{c} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| =\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}\left|\begin{array}{c} a_{21} & \cdots & a_{2\ i-1} & a_{2\ i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n\ i-1} & a_{n\ i+1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$

（其实就是对于第一行的每个元素，用它乘除了它同行同列的剩下来数构成的子行列式。）

上式中令

$$M_{1i}= \left|\begin{array}{c} a_{21} & \cdots & a_{2\ i-1} & a_{2\ i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n\ i-1} & a_{n\ i+1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$ ，称为元素 $a_{1i}$ 的余子式。令 $$A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$ ，称为元素 $a_{1j}$ 的代数余子式。

行列式在解线性方程的运用：Cramer法则

目标：求解关于 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的 $n$ 元线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \\ \end{cases}$$

Cramer法则求解：

令

$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$ ，称之为该方程组的系数行列式。

同时，把行列式 $D$ 的第 $i$ 列替换为方程组的常数列项（$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$），得到新的行列式记为 $D_i$，即：

$$D_1=\left|\begin{array}{c} b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|, D_2=\left|\begin{array}{c} a_{11} & b_1 & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & b_2 & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & b_n & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|, \cdots, D_n=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & b_2 \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n \end{array}\right|$$

若线性方程组的系数行列式 $D\not=0$，则该方程组有唯一解：

$$x_i=D/D_i\qquad (i=1,2,\cdots,n)$$

Cramer法则的应用

例题 求解二元线性方程组

$$\begin{cases} 5x_1+x_2 = 4 \\ 2x_1-3x_2 = 5 \end{cases}$$

解 这个线性方程组的系数行列式为

$$D=\left|\begin{array}{c} 5 & 1 \\ 2 & -3 \end{array}\right|=-17$$ 由于 $D=17\not=0$，该线性方程组有唯一解， $$D_1=\left|\begin{array}{c} 4 & 1 \\ 5 & -3 \end{array}\right|=-17, D_2=\left|\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 5 \end{array}\right|=17$$
即 $$\begin{cases} x_1=D/D_1=1 \\ x_2=D/D_2=-1 \end{cases}$$

Cramer法则与齐次性

若线性方程组的常数项全为零，即

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \\ \end{cases}$$ 则称该线性方程组为齐次线性方程组。反之，如果常数项不全为零，则称之为非齐次线性方程组。

齐次线性方程组永远有解，这组解为 $x_i = 0\qquad (i=1,\cdots,n)$，这组解被称为零解。
由Cramer法则容易知道，当线性方程的系数行列式不等于 $0$时，方程只有零解。

Cramer法则的局限性

1. 应用Cramer法则求解 $n$ 元线性方程组时，必须有 $n$ 条方程。
2. 应用Cramer法则求解 $n$ 元线性方程组时，因涉及到行列式的计算问题，即需要计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式的值，这样，随着 $n$ 的增大，求解的计算量是相当大的。

行列式的性质

行列式转置：

对于行列式

$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$
其转置为
$$D^T=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$

性质1 $D$ = $D^T$
推论 行列式可按任一行（列）展开，即

$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| =\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}$$
（其中 $A_{ij}$即为上文所提到的代数余子式。）

性质2 行列式可以按行（列）提取公因子，即

$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| =k \left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$

性质3 行列式中某一行（列）元素全为零时，值为零。
性质4 行列式两行（列）互换值反号，即

$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| =-\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$

推论 行列式中有两行（列）完全一样时，行列式值为零。

性质5 行列式可以拆行（列）相加，即

$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{i1}+a'_{i1} & a_{i2}+a'_{i2} & \cdots & a_{in}+a'_{in} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| =\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| +\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a'_{i1} & a'_{i2} & \cdots & a'_{in} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$

性质6 行列式两行（列）成比例值为零。
推论 行列式两行（列）相同值为零。
性质7 行列式某行（列）的倍数加到另一行（列）值不变，即

$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| =\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{i1}+a_{j1} & a_{i2}+a_{j2} & \cdots & a_{in}+a_{jn} \\ \cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$

利用行列式的性质化简计算行列式

三角行列式是指形如

$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$
的行列式，其对角线的一边的值全部为 $0$，这样的行列式的值为其对角线上的数的乘积，即
$$D=a_{11}a_{22}a_{33}\cdots a_{nn}$$

为了快速化简并对一个行列式求值，我们可以利用行列式的性质把行列式转换为三角行列式。
也就是说，先将行列式第一行（列）元素只保留第一个元素，将其它所有元素化成零，再将行列式第二行（列）元素只保留前两个元素，将其它所有元素化成零，一直进行下去，直到第 $n-1$ 行（列）最后一个元素化成零就化成三角行列式了。
主要是利用下面两个性质：
1. 行列式两行（列）互换值反号。（性质4）
2. 行列式某行（列）的倍数加到另一行（列）值不变。（性质7）

行列式性质降阶计算行列式

利用行列式性质把高阶行列式降成低阶行列式，达到简化计算行列式的目的。（和上一节的方法区别是一个化为三角行列式，一个降阶行列式）。

利用行列式性质先将行列式某行（列）化成只有 $1$ 个非零元素，再将行列式按此行（列）展开，达到降阶的目的。