算术入门2-求和，第一部分

数学 算术入门

前言：
本章将会更加深入地研究加法，尤其是连续加法(integral)。简单探讨无限的意义。

格式约定：

这是正文。

这是引用，导言，注释或拓展内容

斜体只是调侃，活跃气氛，没有实际意义

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对数学，应该有满腔热忱的描述，不是吗？

一个概率小问题

一些连续的求和问题，与面积无关……

（可以跳过这一小节，对全文完整性没有影响。）

例题2.1 给定一条长为 $1$ 的线段，在上面等概率地随机地(by random)取 2 个点，这两个点之间距离的数学期望是多少？

数学期望

数学期望(mathematic expectation)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果 $x$ 的总和，记作 $\operatorname{E}(x)$。通俗地讲，就是将随机事件进行足够多次并取每次结果的平均值。

例如，在 $3,5,8$ 三个数中随机选一个数 $x$，则 $x$ 的数学期望为

$$\operatorname{E}(x) = \frac{3}{3}+\frac{5}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$$

如果抽出 $3,5$ 的概率都是 $25\%$，抽出 $8$ 的概率为 $50\%$，则 $x$ 的数学期望为

$$\operatorname{E}(x)=3\ 25\%+5\ 25\%+8\ 50\%=6$$

再例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望值是 $\frac{7}{2}$，计算如下：

$$\operatorname{E}(x)=1\frac{1}{6}+2\frac{1}{6}+3\frac{1}{6}+4\frac{1}{6}+5\frac{1}{6}+6\frac{1}{6}=\frac{7}{2}$$

值得注意的是，$\frac{7}{2}$ 虽然是“点数”的期望值，但却不属于可能结果中的任一个，没有掷出此点数的可能。

在不产生歧义的前提下，数学期望也可以简称为期望(mean)。

解：不妨称所选两点分别为点 A 和点 B。

在一条线段任意的取点似乎无从下手，因此我们不妨先考虑有限的弱化情况：假如我们在线段上均匀的取两个点（其实就是线段的两个端点，称之为点 1 和点 2），并要求所选两点必须在点 1 或点 2 上，

/	B 在点 1	B 在点 2
A 在点 1	$0$	$1$
A 在点 2	$1$	$0$

则距离（称为 $d$）有 2 种不同情况，其中距离为 $0$ 有 $\frac12$ 的概率，距离为 $1$ 有 $\frac12$ 的概率。此时，

$$\operatorname{E}_2(d)=0\frac12+1\frac12=\frac12$$

（我们使用角标 2 表示这是钦定 2 个点的弱化情况）

假如我们在线段上均匀的取三个点（线段的两个端点和线段的中点，称之为点 1、点 2 和点 3），并要求所选两点必须在点 1、点 2 或点 3 上，

/	B 在点 1	B 在点 2	B 在点 3
A 在点 1	$0$	$\frac12$	$1$
A 在点 2	$\frac12$	$0$	$\frac12$
A 在点 3	$1$	$\frac12$	$0$

则距离）有 3 种不同情况，其中距离为 $0$ 有 $\frac13$ 的概率；距离为 $\frac12$ 有 $\frac49$ 的概率；距离为 $1$ 有 $\frac29$ 的概率。此时，

$$\operatorname{E}_3(d)=0\frac13+\frac12\frac49+1\frac29=\frac49$$

通过类似的方法，还可以计算出

$$\begin{aligned}\operatorname{E}_4(d)&=\frac5{12}\\\operatorname{E}_5(d)&=\frac6{15}\end{aligned}$$

我们注意到，随着钦定的点数 $n$ 增大，答案 $\operatorname{E}_n(x)$ 逐渐趋近于 $\frac13$。我们知道，钦定的点越多，算出的值越接近在连续的线段上选点的真实答案，因此你可能会猜测

$$\lim_{n\to\infty}\operatorname{E}_n(d)=\frac13$$

$\lim$ 记号

$\lim$ 是英语单词 limit 的缩写，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值。例如

$$\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$$

表示当 $x$ 足够大时，$\frac1x$ 趋近于 $0$。

$x$	$1$	$10$	$100$	$1000$	$10000$	$\cdots$
$\frac1x$	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$	$\cdots$

这是因为，对于不存在一个确定的数 $n>0$，使得无论当 $x$ 多大时都有 $\frac1x>n$。（换句话说就是，对于任意确定的数 $n>0$，总能找到一个数 $x$，使得 $\frac1x<n$，并且所能选的所有 $x$ 的最小值随着 $n$ 减小而减小）

但是这如何证明呢？我们不妨假定在线段上均匀地取 $n$ 个点（当 $n$ 越来越大时答案会越来越接近真实值），称之为 $D_1,D_2,D_3,\cdots,D_n$，并要求所选两点必须在 $D_1,D_2,D_3,\cdots,D_n$ 中的某个点上。

显然此时原线段被 $D_ i$ 分割为 $n-1$ 段，每段长度都为 $\frac1{n-1}$。那么距离有 $n$ 种不同情况，即对于 $k\in\{0,1,2,\cdots,n-1\}$，距离可能是 $\frac{k}{n-1}$。我们不妨记距离为 $\frac{k}{n-1}$ 的概率为 $\operatorname{P_ d}(k)$。那么所求的期望为

$$\operatorname{E}_n(d)=0\operatorname{P_d}(0)+\frac{1}{n-1}\operatorname{P_d}(1)+\frac{2}{n-1}\operatorname{P_d}(2)+\cdots+1\operatorname{P_d}(n-1)$$

我们知道，概率是发生该事件的情况数除以总情况数。总情况数显然有 $n^2$ 种。观察上表，我们注意到每种距离的情况都是在 2 条斜线上的（除 $0$ 外，只有中间 1 条斜线）：

容易看出，距离为 $0$ 的情况有 $n$ 种，$\frac1{n-1}$ 有 $2(n-1)$ 种，$\frac2{n-1}$ 有 $2(n-2)$ 种，……，即距离为 $\frac{k}{n-1}$ 的有 $2(n-k)$ 种情况。由此可得

$$\operatorname{P_d}(k)=\begin{cases}\frac1n&\mbox{if}&k=0\\\frac{2(n-k)}{n^2}&\mbox{if}&1\le k\le n-1\end{cases}$$

进一步，代入到 $\operatorname{E}_n(d)$，

$$\begin{aligned}\operatorname{E}_n(d)&=0\operatorname{P_d}(0)+\frac1{n-1}\operatorname{P_d}(1)+\cdots+\frac{n-1}{n-1}\operatorname{P_d}(n-1)\\&=0\frac1n+\frac1{n-1}\frac{2(n-1)}{n^2}+\cdots+1\frac{2(n-(n-1))}{n^2}\\&=\frac2{n^2(n-1)}(1(n-1)+2(n-2)+\cdots+(n-1)(n-(n-1)))\\&=\frac2{n^2(n-1)}(\frac16(n^3-n))\\&=\frac{n^3-n}{3 n^2 (n-1)}\\&=\frac13+\frac1{3n}\end{aligned}$$

那么当 $n$ 足够大，我们有

$$\lim_{n\to\infty}\operatorname{E}_n(d)=\frac13$$

由此，我们确信，所求之期望就是 $\frac13$。$\qquad\qquad\text{w5}$

路程 速度 加速度

汽车速度表上的速度代指是什么？

1. 假如我们有一个匀速直线运动的物体，$0$ 时刻时位置 $s=0$，其速度 $v=5$，$t$ 个时刻后物体的速度、位置分别是多少？

   $t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
   $v$	$5$	$5$	$5$	$5$	$5$	$5$
   $s$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$

   学过函数的同学，很容易就能看出，速度和位置满足

   $$\begin{aligned}v(t)&=5\\s(t)&=5t\end{aligned}$$

   

2. 假如我们有一个匀加速直线运动的物体，$0$ 时刻时位置 $s=0$，速度 $v=0$，其加速度 $a=2$，$t$ 个时刻后物体的速度、位置分别是多少？

   $t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
   $a$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$
   $v$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
   $s$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$

   学过物理的同学，很容易就能看出，加速度、速度和位置满足

   $$\begin{aligned}a(t)&=2\\v(t)&=2t\\s(t)&=t^2\end{aligned}$$

   

导数

以上例子中，函数 $a(t),v(t),s(t)$ 之间的关系是什么？

不难发现，加速度 $a(t)$ 本质上是速度 $v(t)$ 的速度，而速度 $v(t)$ 是路程 $s(t)$ 的速度。因此 $a(t)$ 和 $v(t)$ 是这样一种函数，它指示另外一个函数的增长速度。

指示原函数 $f(x)$ 在自变量 $x$ 极小的变化时因变量 $f(x)$ 的变化速度的函数，称为导函数(derivative function)，简称导数(derivative)，记作 $f'(x)$ 或 $\operatorname{D}f(x)$。形式化的

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

觉得这个定义不专业，不严谨？你可以看一看某些教材，那里的定义要多专业有多专业，除了看不懂之外没有任何缺点。

瞬时速度

导数是函数的瞬间变化率(instant change rate)。这听起来很矛盾，为什么既有“瞬间”，又有“变化”呢？我的意思是变化是在时间中体现的，当在一个时刻里，物体就没有变化的空间了。

我们知道时刻 $a$ 至时刻 $b$ 的速度的定义是

$$v=\frac{s_b-s_a}{b-a}$$

但是我们刚才定义的速度函数 $v(t)$ 就很奇怪了，它只需要一个参数时刻参数 $t$ 就可以得到一个速度。但是我给一辆行使中的小汽车拍一张照片，你不可能说出他的速度吧？

汽车的速度仪表盘本质上是计算了时刻 $t$ 到时刻 $t+dt$ 的速度，其中 $dt$ 是一个非常小的值，例如 0.01 秒。

例如当 $s(t)=t^2,t=3$ 时，若取 $dt=0.01$ 则 $v(3)=\frac{s(3+0.01)-s(3)}{0.01}=6.01$，当 $dt$ 越来越小时，$v(t)$ 就会越来越接近 $s(t)$ 的瞬间变化率：

$dt$	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$	$\cdots$
$v(3)$	$7$	$6.1$	$6.01$	$6.001$	$6.0001$	$\cdots$

我们注意到，随着 $dt$ 越来越小，$v(3)$ 的值越来越接近 $6$，也就是说

$$v(3)=\frac{s(3+dt)-s(3)}{dt}=6$$

由此，我们对“瞬间变化率”有了初步的认识，更进一步的，

$$\begin{aligned}v(t)&=\frac{s(t+dt)-s(t)}{dt}\\&=\frac{(t+dt)^2-t^2}{dt}\\&=\frac{t^2+2t\ dt+(dt)^2-t^2}{dt}\\&=2t+dt\end{aligned}$$

由于 $dt$ 是一个极小的，趋近于 $0$ 的数，因此可以忽略不计，即

$$v(t)=2t$$

上面那个飞矢不动的悖论吗？人家古希腊几千年前就研究过啦

记号 $dx$

$dx$ 在微积分中很常用，表示 $x$ 的一个极小变化量。也就是说 $dx$ 默认趋近于 $0$。因此，下面两种写法是等价的：

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$f'(x)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$$

不定积分

之前的例子中，函数 $a(t),v(t),s(t)$ 之间的关系是什么？

不难发现，速度 $v(t)$ 本质上是加速度 $a(t)$ 的某种连续的和，而路程 $s(t)$ 是速度 $v(t)$ 的某种连续的和。因此 $v(t)$ 和 $s(t)$ 是这样一种函数，它指示另外一个函数的连续和。

几何上看，这种连续的和是函数下方区域的面积，下图为 $v(t)=2t$ 时 $s(3)$ 所对应的面积。

关于函数 $f(x)$ 下方的面积的函数，称为函数 $f(x)$ 的不定积分(indefinite integral)，记作 $\int f(x)dx$。

求导

函数千千万万，怎么计算每一个的导数？

单项式的导数

我们刚才已经知道，对于 $f(x)=x^2$，其导数 $f'(x)=2x$，那么对于任意一个单项式 $f(x)=x^n$ 呢？

若 $f(x) = x^n(n\not=0)$，则其导数

$$\begin{aligned}f'(x)&=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\&=\frac{(x+dx)^n-x^n}{dx}\end{aligned}$$

$(x+dx)^n$ 展开后的 $x^n$ 项与后面的 $-x^n$ 抵消，$nx^{n-1}dx$ 项保留下来了，除去分母之后变为 $nx^{n-1}$，而剩下的众多项都至少包含 $(dx)^2$，除去分母之后任然包含 $dx$，因此忽略不计。所以我们得到

$$f'(x)=nx^{n-1}$$

定理2.2 上面这条规律（不规范地）记作

$$\operatorname{D}(x^n)=nx^{n-1}(n\not=0)$$

sin 和 cos 的导数

让那些被“解析”、“代数”夺去的直观意义，在这里补回来吧！

若 $f(x)=\sin(x)$ 或 $f(x)=\cos(x)$，那么函数的导数是什么呢？

例题2.3 求函数 $f(x)=\sin(x)$ 的导数。

我们考虑使用几何方法，在单位圆(unit circle)上讨论这个问题。

单位圆

以原点为圆心，半径长度为 $1$ 的圆称为单位圆。单位圆在三角学、复数乃至数论等众多方向有重要的应用。

单位圆的解析式为

$$x^2+y^2=1$$

我们学习三角函数时就已经知道

$$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$$

由此我们就知道了单位圆的一个重要性质：单位圆上的点都可以写成 $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ 的形式，同样的，形如 $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ 的点都是在单位圆上。

解： 现在我们想知道，

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

图下所示，点 $C$ 在单位圆 $\odot A$ 上，使得 $\angle FAC=x$，$\odot A$ 与 $x$ 轴交于点 $B(1,0)$，过点 $C$ 做 $CF\perp AB$ 于点 $F$，做 $\odot A$ 的切线 $CD$，使得 $\angle CAD=h$，过 $D$ 做 $DE\perp CF$。

由于 $\angle FAC=x$，容易知道 $C(\cos(x),\sin(x))$。当 $h$ 足够小时 $D$ 几乎在 $\odot A$ 上，所以我们是要求出 $CE$ 的长度，即

$$\sin(x+h)-\sin(x)=CE$$

通过圆的基础知识，我们知道连接切点和圆心的半径与切线相互垂直，即 $AC\perp CD$，所以

$$\triangle AFC\sim\triangle CED$$

根据相似三角形的性质可知，

$$\begin{aligned}CE&=AF\frac{CD}{AC}\\&=\cos(x)\frac{\sin(h)}{1}\\&=\cos(x)\sin(h)\end{aligned}$$

代入上式可得

$$\begin{aligned}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x)\sin(h)}{h}\\&=\cos(x)\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}\end{aligned}$$

所以现在只要求出 $\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}$ 的值，即可知道 $f(x)=\sin(x)$ 的导数。

绘制一个中心角为 $h$ 弧度、半径为 $1$ 的扇形(sector) $S$。这将用于建立可用于缩放定理的不等式：

通过扇形的面积公式，我们知道扇形的面积是 $S=\frac h2$。

如下图，画三角形 $T$ 与 $S$ 的角相同，其底面为 $1$，高度为 $\sin(h)$。这意味着 $T$ 的面积是 $T=\frac{\sin(h)}2$。由于 $T$ 包含在 $S$ 中，其面积必然更小：

如下图，画半径为 $\cos(h)$ 的扇形 $S'$，其的面积为$\frac{h\cos^2(h)}2$。因为 $S'$ 包含在三角形 $T$ 中，所以它的面积必然更小：

由此我们得到不等式

$$\frac{1}{2} h (\cos ^2 (h))\leq \frac{\sin (h)}{2}\leq \frac{h}{2}$$

每一项同时乘以 $\frac2h$ 得到，

$$\cos ^2 (h)\leq \frac{\sin (h)}{h}\leq 1$$

当 $h=0$ 时，有

$$\cos^2(h)=(\cos(0))^2=1$$

即

$$1\leq\frac{\sin(h)}h\leq1$$

由夹逼定理可得

$$\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}h=1$$

代入之前的式子，得到

$$f'(x)=\cos(x)$$

至此，我们就求出了 $\sin(x)$ 的导数（即 $\cos(x)$）。$\qquad\qquad\text{w5}$

试一试2.4 尝试仿造上面的方法（或自己设计新方法）求出函数 $f(x)=\cos(x)$ 的导数。

答案： $f'(x)=-\sin(x)$

这两条规律记作（分被称为定理2.3和定理2.4）

$$\begin{aligned}\operatorname{D}(\sin(x))&=\cos(x)\\\operatorname{D}(\cos(x))&=-\sin(x)\end{aligned}$$

自然常数

传说中有一个人，叫做 FISHER_，拥有无穷无尽的神力和高深莫测的魔法。他掌管这世界上一切吉祥的和不祥的事情的发生和停止……

FISHER_ 在 3 月 5 日（神渔标准时间）的开始时刻重量为 $1$ 个单位，从此之后他的体重以每天翻一倍的速度增长，那么他的体重关于自 3 月 5 日以来的天数的函数 $f(x)$ 是什么？

注意到，这里的增长速度就是函数 $f(x)$ 的导数。不假思索地，你可能会回答

$$f(x)=2^x$$

我们来验证一下：由于体重每天翻一倍，函数 $f(x)$ 的导数应该和自己一样，即

$$f'(x)=f(x)$$

对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数我们目前还不知道怎么求，但是从数值上拟合 $x=5$ 处的导数，可以发现似乎 $f(x)=2^x$ 的导数并不是自己（看起来这个数趋近于 $22.1807097779$）

$x$	5
$2^x$	$32$
$dx$	$0.00001$
$\operatorname{D}(2^x)$	$22.1808$

$dt$	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$	$0.00001$	$\cdots$
$\operatorname{D}(2^x)$	$22.9675$	$22.2578$	$22.1884$	$22.1815$	$22.1808$	$\cdots$

我们尝试对 $f(x)=2^x$ 求导

$$\begin{aligned}f'(x)&=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\&=\frac{2^{x+dx}-2^x}{dx}\\&=\frac{2^x2^{dx}-2^x}{dx}\\&=2^x(\frac{2^{dx}-1}{dx})\end{aligned}$$

注意上面式子里括号中的一部分，$\frac{2^{dx}-1}{dx}$ 与 $x$ 的取值无关，数值计算得到它是一个大约为 $0.69$ 的常数。因此 $f(x)=2^x$ 的导数并不是他它自身，而是自身的约 $0.7$ 倍。

这么说来，$f(x)=2^x$ 是一个不错的尝试，我们已经很接近正确答案了。

那么那个函数的导数是它自己呢？或者说以什么数为底数能使得后面那部分的常数恰好等于 $1$ 呢？不妨设未知数 $e$，使得函数 $f(x)=e^x$ 满足 $f'(x)=e^x$，即

$$\operatorname{D}(e^x)=e^x$$

在解出 $e$ 的值之前，我们最好先搞清楚为什么 $f(x)=2^x$ 的导数不是它自己，难道第二天的重量翻倍不是变为 $2$ 个单位吗？

如果“天”为时间的最小颗粒单位，那么 1 天之后，重量确实为 $2$ 个单位；

但是如果时间的最小颗粒单位为 $\frac12$ 天，那么每 $\frac12$ 天，重量变为原来的 $(1+\frac12)$ 倍，所以 1 天后 FISHER_ 的重量为 $(1+\frac12)^2=\frac{4}{9}$，比 $2$ 稍大；

相似地，那么如果时间的最小单位为 $\frac1n$ 天，那么每 $\frac1n$ 天，重量变为原来的 $(1+\frac1n)$ 倍，所以 1 天后 FISHER_ 的重量为 $(1+\frac1n)^n$，在本问题中，时间是连续的，因此 1 天之后，FISHER 真正的重量为

$$f(1)=\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n$$

由于 $f(x)=e^x$，所以 $f(1)=e$，解得

$$e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n$$

所以 $e$ 等于多少呢，这很难说，简单的数值拟合可以发现 $e\in(2,3)$，而且离 $3$ 比较接近。事实上，$e$ 是一个无理数，我们只知道它的值大约是 $2.71828$。$\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n$ 被称为自然常数(natural constant)，记作 $\mathtt{e}$。

这里的常数 $\mathtt{e}$ 和上面未知数的 $e$ 还用了不同的字体？搞这么多花里胡哨的玩意儿！

还有一个问题没有搞清楚：上面函数 $f(x)=2^x$ 的导数到底是多少呢？

我们要搞清楚下面式子，

$$\lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h}$$

就可以就出 $f(x)=2^x$ 的导数。

例题2.5 若函数 $f(x)=2^x$，就函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。

解： 由我们之前的推导已经知道

$$f'(x)=2^x\lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h}$$

令 $k=a^h-1$，则 $h=\log_2(k-1)$，换元得

$$f'(x)=2^x\lim_{h\to0}\frac{k}{\log_2(k-1)}$$

注意到当 $h$ 趋近于 $0$ 时 $k$ 也趋近于 $0$，因此可以转化为

$$f'(x)=2^x\lim_{k\to0}\frac{1}{\frac{1}{k}\log_2(k-1)}$$

应用定理1.10，

$$f'(x)=2^x\lim_{k\to0}\frac{1}{\log_2(k-1)^\frac1k}$$

转化 $\lim$ 的位置

$$f'(x)=2^x\frac{1}{\log_2\lim_{k\to0}(k-1)^\frac1k}$$

现在只需要知道 $\lim_{k\to0}(k-1)^\frac1k$ 即可，我们根据 $\mathtt e$ 的定义

$$\lim_{k\to\infty}(1+\frac1k)^k=\mathtt e$$

用 $\frac1k$ 替换 $k$，

$$\lim_{\frac1k\to\infty}(1+k)^\frac1k=\mathtt e$$

由于当 $\frac1k\to\infty$ 时，$k\to0$，最终得到

$$\lim_{k\to0}(1+k)^\frac1k=\mathtt e$$

代回上面式子

$$f'(x)=2^x\frac1{\log_2\mathtt e}$$

代入 $1=\log_22$，应用换底公式（定理1.12），

$$f'(x)=2^x\ln2$$

自然对数

在应用中，以 $\mathtt e$ 为底对数十分常见，称为自然对数(natural logarithm)，记作 $\ln$。即

$$\forall_a\ln a=\log_\mathtt e2$$

至此，我们就求出了 $2^x$ 的导数（即 $2^x\ln2$）。$\qquad\qquad\text{w5}$

将上述过程中的 $2$ 替换成任意其他常数，可以得到

定理2.6 对于任意常数 $c$，函数 $f(x)=c^x$ 的导数 $f'(x)=c^x\ln c$。

那么假如指数不是 $x$，而是 $2x$ 或者其他的什么玩意儿呢？

例题2.7 若函数 $f(x)=\mathtt{e}^{2x}$，求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。

这个问题相当简单，用现实意义来解释，就是 FISHER_ 达到某个重量只用原来一半的时间，此时 FISHER 每 $\frac12$ 天就能使重量翻一倍。这个问题用已经研究过的知识可以轻松解决，请读者自己动手试一试。

解：根据乘方的基本性质，有

$$f(x)=(\mathtt e^2)^x$$

取 $c=\mathtt e^2$ 代入定理2.6，

$$f'(x)=(\mathtt e^2)^x\ln(\mathtt e^2)$$

化简即得答案 $f'(x)=2\mathtt e^{2x}$。$\qquad\qquad\text{w5}$

函数和

$x^2+x$ 的导数是多少？

我们知道 $\operatorname{D}(x^2)=2x,\operatorname{D}(x)=1$，那么 $\operatorname{D}(x^2+x)$ 是否就是 $\operatorname{D}(x^2)+\operatorname{D}(x)=2x+1$？

从这一节开始，我们将讨论通用的求导法则。我们再看一下导数的定义

$$f'(x)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$$

导数就是因变量的变化量除以自变量的变化量，我们把自变量的变化量记作 $dx$，那么我们不妨把因变量的变化量记作 $df$。所以导数就是

$$f'(x)=\frac{df}{dx}$$

假设我们有函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，想要求函数 $(f+g)(x)$ 的导数 $(f+g)'(x)$。

函数加减运算

为了方便，我们记

$$\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}(f+g)'(x)&=\frac{(f+g)(x+dx)-(f+g)(x)}{dx}\\&=\frac{f(x+dx)+g(x+dx)-f(x)-g(x)}{dx}\\&=\frac{df+dg}{dx}\\&=f'(x)+g'(x)\end{aligned}$$

由此我们得出，两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和，即

定理2.8 对于两个函数 $f(x),g(x)$，有 $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$。

函数积

$x^2\mathtt e^x$ 的导数是多少？

我们知道 $\operatorname{D}(x^2)=2x,\operatorname{D}(\mathtt e^x)=\mathtt e^x$，那么 $\operatorname{D}(x^2\mathtt e^x)$ 是否就是 $\operatorname{D}(x^2)\operatorname{D}(\mathtt e^x)=2x\mathtt e^x$？

现在我们有函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，想要求函数 $h(x)=f(x)g(x)$ 的导数 $h'(x)$。

无论什么时候，把代数中的乘法与几何中图形的面积联系起来，往往都是很好的。绘制一个长方形，其长宽分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$。

现在我们 $x$ 增加一点点 $dx$，则 $f(x)$ 增加了 $df$，$g(x)$ 增加了 $df$。总的来说，面积增加了 $f(x)dg+g(x)df+df\ dg$。其中 $df\ dg$ 是极小的，可以忽略不计。

由此我们知道了

定理2.9 （乘积求导法则）若我们有函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，则函数 $h(x)=f(x)g(x)$ 的导数是

$$h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$$

函数复合

函数的复合运算

函数复合就是将一个函数的输出作为下一个函数的输入的过程，即

$$\begin{aligned}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\(f\circ g\circ h)(x)&=f(g(h(x)))\end{aligned}$$

假如现在我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，求 $(f\circ g)'(x)$。

由于有

$$f'(x)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$$

取 $x=g(x)$，并代入，得到

$$(f\circ g)'(x)=\frac{f(g(x)+dg)-f(g(x))}{dx}$$

取 $x=g(x)$ 后代入 $f'(x)=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$，

$$(f\circ g)'(x)=\frac{f'(g(x))dg}{dx}$$

代入 $g'(x)=\frac{dg}{dx}$

$$(f\circ g)'(x)=\frac{f'(g(x))g'(x)dx}{dx}$$

分子分母约去 $dx$ 就得到了答案，即

$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)$$

定理2.10 （链式求导法则）对于两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，其复合函数 $(f\circ g)'(x)$ 的导数 $(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)$。

小结

对于如何求导的研究至此告一段落了，通过定理2.2 到定理2.10，我们知道了

常见函数的导数：

原函数 $f(x)$	导数 $f'(x)$	（限制条件）
$x^n$	$nx^{n-1}$	/
$\sin(x)$	$\cos(x)$	/
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	/
$c^x$	$c^x\ln c$	$c>0$

求导法则：

组合方式	导数
$f(x)+g(x)$	$f'(x)+g'(x)$
$f(x)g(x)$	$f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$
$f(g(x))$	$f'(g(x))g'(x)$

熟练运用上面的规律，已经可以求出大量函数的导数了，请读者自己动手算一算下面例题

例题2.11 已知函数 $f(x)=2^{x\sqrt{x^2+x}}$，求该函数的导数 $f'(x)$。

解： 对函数 $g_1(x)=x^2$ 应用定理2.2，

$$g_1'(x)=2x$$

对函数 $g_2(x)=x$ 应用定理2.2，

$$g_2'(x)=1$$

对函数 $g_3(x)=g_1(x)+g_2(x)$ 应用定理2.8，

$$g_3'(x)=2x+1$$

对函数 $g_4(x)=\sqrt x$ 应用定理2.2（$\sqrt x=x^{\frac12}$），

$$g_4'(x)=\frac{x^{-\frac12}}{2}$$

整理得

$$g_4'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$$

对函数 $g_5(x)=(g_3\circ g_4)(x)$ 应用定理2.10并整理，

$$g_5'(x)=\frac{2 x+1}{2 \sqrt{x^2+x}}$$

对函数 $g_6(x)=g_2(x)g_5(x)$ 应用定理2.9并整理，

$$g_6'(x)=\frac{x (4 x+3)}{2 \sqrt{x (x+1)}}$$

对函数 $g_7(x)=2^x$ 应用定理2.6，

$$g_7'(x)=2^x\ln x$$

对函数 $f(x)=(g_6\circ g_7)(x)$ 应用定理2.10并整理，

$$f'(x)=\frac{2^{x \sqrt{x (x+1)}-1} x (4 x+3) \ln 2}{\sqrt{x (x+1)}}$$

即为函数 $f(x)$ 的导数。$\qquad\qquad\text{w5}$

此题计算量确实较大（我用了将近 30 分钟），但是思路其实是相当简单的：反复运用这些法则，把复杂的函数转化为基本的函数。

积分

加法和减法，乘法和除法……

回顾先前的例子，我们知道函数 $v(t)$ 是 $s(t)$ 的导数，反过来函数 $s(t)$ 是 $v(t)$ 的（不定）积分。这使得我们意识到，求导和积分互为逆变换。也就是说，

定义2.12 对于给定的函数 $f(x)$，如果存在一类函数 $F(x)$ 使得 $F'(x)=f(x)$，则称所有 $F(x)$ 中常数项为 $0$ 的那个函数为 $f(x)$ 的不定积分。

例如，对于函数 $f(x)=x^2$，其不定积分为 $F(x)=\frac13x^3$。

定积分

考虑这样一个问题：

例题2.13 求函数 $f(x)=x^2$ 图像下方从 $x=1$ 到 $x=3$ 区域（换句话说就是 $y=x^2,x=1,y=0,x=3$ 四条（曲）线围成的图形的面积）的面积。

解： 我们使用与最开始那个概率问题相似的方法，不妨先用几个矩形拟合一下 $y=x^2$ 的曲线：

容易发现，所使用的的矩形越多，拟合结果越精准。不妨假设现在用 $n$ 个矩形进行拟合，这 $n$ 个矩形的面积记作 $S_n$。每个矩形的宽为 $\frac{3-1}n=\frac2n$，第 $k$ 个矩形的高为

$$\begin{aligned}f(1+\frac{2k}n)&=(1+\frac{2k}n)^2\\&=1+\frac{4k}n+\frac{4k^2}{n^2}\\&=1+\frac4nk+\frac4{n^2}k^2\end{aligned}$$

所以我们要求的就是

$$\begin{aligned}S_n&=\frac2n(f(1+\frac{2}n)+f(1+\frac{4}n)+f(1+\frac{6}n)+\cdots+f(1+\frac{2n}n))\\&=\frac2n(1+1+1+\cdots+1)+\frac{8}{n^2}(1+2+3+\cdots+n)+\frac{8}{n^3}(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)\\&=\frac2nn+\frac{8}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{8}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\&=\frac{26}{3}+\frac{10}{n}+\frac{4}{3 n^2}\end{aligned}$$

那么当 $n$ 足够大时，

$$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{26}3$$

故该面积为 $\frac{26}3$。$\qquad\qquad\text{w5}$

这种有明确的上下界的积分（上面例题中上下界为 $1$ 至 $3$），叫做定积分(definite integral)。记作 $\int_a^bf(x)dx$。例如例题2.13就是要求

$$\int_1^3x^2dx$$

例题解答中所使用的定积分求法较为复杂，一个简单的办法是使用牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz formula，又名微积分基本定理)。

定理2.14 （牛顿-莱布尼茨公式）一个连续函数在区间 $[a,b]$ 上的定积分等于它的任意一个原函数（不定积分）在区间 $[a,b]$ 上的增量。即如果有 $F'(x)=f(x)$，则

$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$

使用这个方法求定积分变得十分简单，还是以 $\int_1^3x^2dx$ 为例：注意到

$$\operatorname{D}(\frac13x^3)=x^2$$

固有

$$\int_1^3x^2dx=\frac133^2-\frac131^2=\frac{26}3$$

极限

$y=\frac{\sin(x)}x$ 的图像是什么样子的？在 $x=0$ 时应该如何画？

类似于 $f(x)=\frac{\sin(x)}x$ 这样的函数在一些特殊点无法直接取值，但是其值任然是有意义的。

我们注意图中红圈标记处，直接计算会得到 $\frac{\sin0}{0}$ 这样没有意义的结果，但是我们从图像中可以很清晰的得出 $f(0)=1$ 的结论，这是因为

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}x=1$$

这就使用了极限(limitation)的概念。

极限的标准定义

设 $f:\mathbb D\subset\mathbb R\to\mathbb R$ 是一个定义在实数上的函数。 并在某个开区间 $x>A$ 或 $x<A$ 上有定义。 $L$ 是一个给定的实数。 $c$ 是一个实数，并且函数 $f$ 在 $c$ 的某个去心邻域上有定义。如果对任意的正实数 $\epsilon$ ，都存在一个正实数 $\delta$ ，使得对任意的实数 $x$ ，只要 $f$ 在点 $x$ 处有定义，并且 $x$ 在 $c$ 的某个 $\delta$ -（去心）邻域中（即 $|x-c|\le\delta$ ），就有 $|f(x)-L|\le\epsilon$ ，那么就称 $L$ 是函数 $f$ 在 $x$ 趋于 $c$ 时的极限，或简称 $L$ 为 $f$ 在 $c$ 的极限，记为 $\lim_{x\to c}f(x)=L$ 。反之则称 $L$ 不是 $f$ 在 $x$ 趋于 $c$ 时的极限。

来自 维基教科书（啥都看不懂系列）

注意，极限要求从函数两边趋近能达到同样的结果。举个例子，函数 $f(x)=\frac1x$ 在 $x=0$ 时的值是未定义的，（如下图红线所示）因为从小于 $0$ 出发回趋向于 $-\infty$ 而从大于 $0$ 出发回趋向于 $+\infty$。

洛必达法则

微积分需要连续，连续需要无穷小，可是谁知道无穷小长什么样子？
$\qquad\qquad$———— 伯特兰·罗素

之前我们尝试求三角函数的导数时，曾经用相当巧妙的几何方法求出过

$$\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}=1$$

那个方法虽然巧妙，但是相当复杂，而且不具备通用性，有较高的思维难度。下面介绍洛必达法则(L'Hospital's rule)，此方法能够较为简单地求出大多数函数的极限。

定理2.15 （洛必达法则 描述简化版）对于一个形如

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}$$

的极限，如果它满足

1. $x$ 趋向于常数 $a$ 时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 都趋向于 $0$；
2. 在 $a$ 附近（可以理解为 $x=a-dx$ 和 $x=a+dx$），$f'(x)$ 和 $F'(x)$ 都有定义，且 $F'(x)\not=0$；
3. $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{F(x)}$ 有定义。

则有

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$$

证明：（通俗不严谨版，某种程度上说，仅供感性理解）

由于在 $a$ 附近，$f'(x)$ 和 $F'(x)$ 都有定义，我们知道，所求的极限也是有定义的。

由于当 $x=0$ 时，$f(x)=0,F(x)=0$，所以我们知道

$$\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x+dx)&=f'(x)\\\lim_{x\to a}F(x+dx)&=F'(x)\end{aligned}$$

当 $x$ 的变化量足够小时（即变化量为极小的 $dx$），应该有

$$\begin{aligned}f(x)&=\lim_{h\to0}f(x+h)\\F(x)&=\lim_{h\to0}F(x+h)\end{aligned}$$

由此得出

$$\begin{aligned}f(x)&=f(x+dx)\\F(x)&=F(x+dx)\end{aligned}$$

代入之前的式子，

$$\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)&=f'(x)\\\lim_{x\to a}F(x)&=F(x+dx)\end{aligned}$$

由此相除得到

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$$

即为所求证的等式。$\qquad\qquad\blacksquare$

严谨的证明请见 参考文献 - 洛必达法则的证明。

泰勒展开

没有其他外力，没有初速度的条件下，质点只能静止在原地。毫无自由可言。

给质点一个初速度，我们可以使质点单向匀速运动；

若再给定一个加速度，我们可以使速度均匀变化，从而产生拐弯运动；

若再给定加速度的变化率，我们使加速度均匀变化，速度拐弯变化，产生可转向拐弯运动；

……如果一开始就设定好质点的初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的话，正如用一只无形的手调控着它的命运，那么无论想让它何时拐，往何处拐，如何拐……就全都在初始条件的设计之中了。

1. 考虑函数 $f(x)=\sin(x)$，它的导数为

   $$f'(x)=\cos(x)$$

   当 $x=0$ 时，显然有 $f(0)=0,f'(0)=1$。但是满足上述条件的函数不止一个，至少还有

   $$f(x)=x$$

2. 考虑函数 $f'(x)=\cos(x)$，它的导数为

   $$f''(x)=-\sin(x)$$

   当 $x=0$ 时，显然有 $f(0)=0,f'(0)=1,f''(x)=0$。但是满足上述条件的函数不止一个，至少还有

   $$f(x)=x$$

3. 考虑函数 $f''(x)=-\sin(x)$，它的导数为

   $$f'''(x)=-\cos(x)$$

   当 $x=0$ 时，显然有 $f(0)=0,f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(x)=-1$。但是满足上述条件的函数不止一个，至少还有

   $$f(x)=x-\frac16 x^3$$

4. 考虑函数 $f'''(x)=-\cos(x)$，它的导数为

   $$f^{(4)}(x)=\sin(x)$$

   高阶导数记号 $f^{(n)}(x)$

   对原函数求 1 次导数，我们记作 $f'(x)$；以此类推求 2 次导数，就记作 $f''(x)$；但是当求很多次导数时，这种记号阅读和书写都不方便，所以我们用 $f^{(n)}(x)$ 表示对原函数 $f(x)$ 求 $n$ 次导数后的函数。

   当 $x=0$ 时，显然有 $f(0)=0,f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(x)=-1,f^{(4)}(x)=0$。但是满足上述条件的函数不止一个，至少还有

   $$f(x)=x-\frac16 x^3$$

以此类推，我们不停的对 $f(x)=\sin(x)$ 求导，会得到一个循环，即

$$f^{(n)}(x)=\begin{cases}\sin(x)&\mbox{if}&n\operatorname{mod}4=0\\\cos(x)&\mbox{if}&n\operatorname{mod}4=1\\-\sin(x)&\mbox{if}&n\operatorname{mod}4=2\\-\cos(x)&\mbox{if}&n\operatorname{mod}4=3\end{cases}$$

而且我们总能找到一个多项式函数，使得当 $x=0$ 时这个多项式的前 $n$ 阶导数与 $\sin(x)$ 的导数相同，例如多项式

$$\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x$$

与 $\sin(x)$ 的前 $6$ 项导数相同，而多项式

$$-\frac{x^{11}}{39916800}+\frac{x^9}{362880}-\frac{x^7}{5040}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x$$

与 $\sin(x)$ 的前 $12$ 项导数相同，这使得它们的函数图像在 $x=0$ 附近极为接近（如下图）。

我们之所以总能够构造出这样的多项式，是因为多项式的每求导一次，最高次项的次数减 $1$，并且其导数是完全可控的（由多项式的系数决定）。这些系数的分母是为了抵消求导导致的系数增加（下式中加粗的 $n$）

$$\operatorname{D}(x^n)=\mathbf{n}x^{n-1}$$

每次求导时，指数 $n$ 减一，导致系数一层层一共乘大了 $n(n-1)(n-2)\cdots1$，即 $n!$，所以分子要除去 $n!$。

综合上面描述，我们把这种多项式称为原函数的泰勒级数(Taylor's series)，把这种展开过程称为泰勒展开(Taylor's expand)。

定理2.16 （泰勒公式）函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数为

$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots$$

特别地，当取 $x_0=0$ 的级数尤为常用，可以称为麦克劳林级数或 0 处的泰勒级数。此时有

$$f(x)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots$$

如果我们求 $f(x)=\mathtt e^x$ 的麦克劳林级数，并代入 $x=1$，可以得到 $\mathtt e$ 的一个渐进的表达形式，极为有趣

$$\mathtt e=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$

习题

1. 已知二次函数 $y=-x^2-2x-8$ 与直线 $l$ 交于 $A(-4,0),B(0,8)$，在二次函数上有一动点 $P$，且点 $P$ 在直线 $l$ 上方运动，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值。
2. 在 $[0,1]$ 区间内等概率地随机选取一个数 $x$，求 $x^2$ 的数学期望 $\operatorname{E}(x^2)$。
3. 求 $f(x)=\tan(x)$ 的导数 $f'(x)$。
4. 求 $f(x)=\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+2}+x$ 的导数 $f'(x)$。
5. 求 $f(x)=\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+2}+x$ 当 $-4\le x\le4$ 时的取值范围。
6. 求出 $f(x)=\cos x$ 的麦克劳林级数的前 5 项。
7. 求 $\lim_{x\to1}\frac{\sin(\pi x)}{x^2-1}$ 的值。
8. 求 $f(x)=\arcsin(x)$ 的导数。
9. 求半径为 $r$ 的球的表面积公式（用含 $r$ 的式子表示）。
10. 平面上的解析式 $y^2\sin(x)=x$ 上有一点 $A(m,n)$，求 $A$ 点处该图像的切线的斜率。
11. 求函数 $f(x)=\ln x$ 的导数 $f'(x)$。
12. 在边长为 $1$ 的正方形内等概率随机选取两点，它们之间的距离的数学期望是多少？

参考文献

• 理解极限的精确定义-无穷远到底是多远，我能到达吗；无限接近到底是多近，我能触摸吗？
• 洛必达法则的证明
• 通俗地解释泰勒公式-泰勒与GeoGebra的多项式