$log$ and $e$: A Short Tale Of Two Brothers

数学 Napier Euler loge index

---

Napier invented $log$

对于下面的方程：

$$N = 10^7 * (1-10^{-7})^L,$$
Napier（1550-1617）称$L$为人工数（artificial number），后改称对数（logarithm），意为比例数（logos + arithmos)[1].

Napier对数和自然对数的关系如下：

$$L = \log_{1-10^{-7}}{\frac{N}{10^7}} \\ = \frac{\log_{e}{\frac{N}{10^7}}}{\log_{e}{(1-10^{-7})}}\\ \approx -10^7 \log_e{\frac{N}{10^7}}.$$
最后一步利用了如下近似关系：
$$\begin{equation} {(1-10^{-7})}^{10^7} \approx \frac{1}{e} , \end{equation}$$

和如下恒等式[2]：

$$\log_{a}{b} * \log_{b}{a} = 1, (a,b > 0).$$

Euler defined $e$

上面的常量e即是欧拉数，欧拉（1707-1783）将其定义如下：

$$e^x = \lim_{n \to +\infty}{(1+\frac{x}{n})^n}.$$
取x = 1即可得到微积分中的重要极限：
$$e = \lim_{n \to +\infty}{(1+\frac{1}{n})^n},$$
同时也能理解上述Napier推导最后一步用到的近似.

备注：$e^{i\pi} = -1$

高中教材中要求对数函数$y = \log_a{x}$ 里的真数x（自变量，定义域）大于零。
当真数是一个负数时，即负数的对数，Leibniz（1646-1716）已经考察了它：

$$\log_e{-1} .$$
（不过遗憾的是，莱布尼兹是用上述数的不存在性去试图证明负数的不存在性[3]）
当从高中进入到大学，会接触到著名的欧拉公式：
$$e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x},$$
取 $x = \pi$,即可得到最优美的公式之一：
$$e^{i\pi} = -1.$$
（有人喜欢用 $e^{i\pi} + 1 = 0$, 因为它把0也包括进去了，而0在数系中的引入具有重大意义）
两边取对数即可得到：
$$\log_e{-1} = i\pi ,$$
从而将负数（的对数）和复数联系起来了。

事实上，欧拉1751年的论文就是用对数形式来表示欧拉公式的：

$$\log{(x + iy)} = \log{(\rho e^{i\varphi})} \\ = \log{\rho} + i(\varphi \pm 2n\pi) ,$$
这里$\rho$和$\varphi$是极坐标表示，利用三角关系很容易从上式出发推导出用指数形式表示的欧拉公式。

• 对数的出现早于指数

作者 @truth4sex
2014 年 08月 27日