选择与笛卡尔积的交换律

1. 如果$F$中涉及的属性都是$E_1$中的属性，则
   $$\sigma_F(E_1 \times E_2) \equiv \sigma_F(E_1) \times E_2$$
2. 如果$F = F_1 \land F_2$，并且$F_1$只涉及$E_1$中的属性，$F_2$只涉及$E_2$中的属性，则由上面的等价变换规则1、4、6可推出
   $$\sigma_F(E_1 \times E_2) \equiv \sigma_{F_1} (E_1) \times \sigma_{F_2}(E_2)$$
3. 若$F_1$只涉及$E_1$中的属性，$F_2$涉及$E_1$和$E_2$两者的属性，则仍有
   $$\sigma_F(E_1\times E_2) \equiv \sigma_{F_2}(\sigma_{F_1}(E_1) \times E_2)$$
   它使部分选择在笛卡儿积前先做。

证明：
1.
设 $T =\ \stackrel\frown{t_1t_2}\ \in \sigma_F(E_1 \times E_2)$, 其中
则 $F(T) = true$
$\because F$ 中涉及的属性都是$E_1$中的属性
$\therefore F(t_1)=true$
故 $t_1 \in \sigma_F(E_1), t_2 \in E_2$
即 $T \in \sigma_F(E_1) \times E_2$
$\therefore \sigma_F(E_1 \times E_2) \subseteq \sigma_F(E_1) \times E_2$

反之，设 $T =\ \stackrel\frown{t_1t_2}\ \in \sigma_F(E_1) \times E_2$， 其中$t_1 \in \sigma_F(E_1), t_2 \in E_2$
即 $t_1 \in E_1, F(t_1)=true$
$\because F$ 中涉及的属性都是$E_1$中的属性
$\therefore F(T)=true$
即 $T =\ \stackrel\frown{t_1t_2}\ \in E_1 \times E_2$ 且 $F(T) = true$
$\therefore T \in \sigma_F(E_1\times E_2)$
即 $\sigma_F(E_1) \times E_2 \subseteq \sigma_F(E_1 \times E_2)$

综上，$\sigma_F(E_1\times E_2) = \sigma_F(E_1)\times E_2$
2.
由等价变换规则1、4、6知

$$\sigma_F(E_1\times E_2) = \sigma_{F_1\wedge F_2}(E_1\times E_2)\\ =\sigma_{F_1}(\sigma_{F_2}(E_1 \times E_2))\\ =\sigma_{F_1}(E_1\times \sigma_{F_2}(E_2))\\ =\sigma_{F_1}(E_1)\times \sigma_{F_2}(E_2)$$
3.
$$\sigma_F(E_1\times E_2) = \sigma_F(E_1)\times \sigma_F(E_2)\\ = \sigma_{F_2}(\sigma_{F_1}(E_1))\times \sigma_{F_2}(E_2)\\ =\sigma_{F_2}(\sigma_{F_1}(E_1)\times E_2)$$