高宏第二次作业

高宏

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1. 证明 $\frac{\partial k^*}{\partial s}>0$

在 $sf(k^*)-(n+g)k^* = 0$ 两边同时对 $s$ 求导，有

$$f(k^*)+sf'(k^*)\frac{\partial k^*}{\partial s}-(n+g)\frac{\partial k^*}{\partial s}=0$$
$$\frac{\partial k^*}{\partial s} = \frac{f(k^*)}{(n+g)-sf'(k^*)}=\frac{f(k^*)}{(n+g)-\frac{(n+g)k^*}{f(k^*)}f'(k^*)}=\frac{f(k^*)}{n+g}\frac{1}{1-\frac{k^* f'(k^*)}{f(k^*)}}$$
因为
$$f(0)=0$$ ，由Lagrange中值定理，存在 $\xi \in (0,k^*)$ 使得
$$\frac{f'(k^*)}{k^*} = f'(\xi)$$
则
$$\frac{\partial k^*}{\partial s} =\frac{f(k^*)}{n+g}\frac{1}{1-\frac{ f'(k^*)}{f'(\xi)}}$$
又 $f''(k)<0, k>\xi$， 有
$$\frac{f'(k^*)}{f'(\xi)} < 1$$
故
$$\frac{\partial k^*}{\partial s} > 0$$

2. 求效用最大化时的消费 $C_t$.

效用最大化问题为

$$\max \limits_{C_t, C_{t+1}} \frac{C_t^{1-\theta}}{1-\theta} + \frac{1}{1+p}\frac{C_{t+1}^{1-\theta}}{1-\theta}$$

s.t.       $C_t + \frac 1{1+r_{t+1}}C_{t+1} = w_t$

一阶条件为：

$$C_t^{-t}=\left(\frac{1+r_{t+1}}{1+\rho}\right)^\frac 1{\theta} w_t$$
代入 $C_t + \frac 1{1+r_{t+1}}C_{t+1} = w_t$ 得，
$$\begin{cases} C_t=\frac{(1+\rho)^\frac 1\theta}{(1+\rho)^\frac 1\theta + （1+r_{t+1}）^\frac{1-\theta}{\theta}}w_t \\ C_{t+1}=\frac{(1+r_{t+1})^\frac 1\theta}{(1+\rho)^\frac 1\theta + （1+r_{t+1}）^\frac{1-\theta}{\theta}}w_t \end{cases}$$

3. 证明 $k_{t+1} = \frac1{1+n} \frac 1{\rho+2}(1-\alpha)k_t^\alpha$ 会收敛到均衡$k^*$

对 $k_t$ 在 $k^*$ 处作泰勒展开，

$$\begin{aligned} k_{t+1} &\approx k^* + \frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}\vert_{k^*}(k_t-k^*) \\ &\approx k^* + \frac1{1+n}\frac1{\rho + 2}(1-\alpha)\alpha k^{*\alpha-1}(k_t-k^*) \\ &\approx k^* + \xi(k_t - k^*) \end{aligned}$$
即

$k_{t+1}-k^*=\xi(k_t-k^*)$， 其中 $0<\xi<1$ （因为 $n>0,\rho>0, 0<\alpha<1）$

$$\therefore \frac{k_{t+1}-k^*}{k_t-k^*}=\xi<1$$
$$\therefore \lim\limits_{t \to \infty}(k_t-k^*)=0$$
i.e. $$\lim\limits_{t\to \infty}k_t = k^*$$