资产组合理论

金融

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均值-方差边界

推导

　　假设有 $s$ 个风险资产，其期望收益向量与方差-协方差矩阵分别为

$$E(\boldsymbol{r})_{s\times 1}=[E(r_1)　E(r_2)　 \cdots　E(r_s)]^T,$$
$$\boldsymbol{V}_{s \times s}= \begin{bmatrix} \sigma^2_1 & \sigma^2_{12} & \cdots & \sigma^2_{1s} \\ \sigma^2_{21} & \sigma^2_2 & \cdots & \sigma^2_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma^2_{s1} & \sigma^s_2 & \cdots & \sigma^2_s \\ \end{bmatrix},$$
方差-协方差矩阵$V$是一个正定矩阵。这可以从方差-协方差矩阵的定义出发来证明。而这个性质可以保证任何风险资产组合的方差也都是存在的。
　　用这些风险资产按照一定的投资比例构造投资组合，将投资于这些风险资产的投资份额向量记为$\boldsymbol{w}_{p \times 1} = [w_1　w_2　\cdots　 w_s]^T$。$\boldsymbol{w}$面临一些约束条件。首先，所有投资份额之和为1，即$\boldsymbol{e}^T\boldsymbol{w}=1(\boldsymbol{e} = [1　1　\cdots　1]_{s \times 1})$。其次，当存在卖空约束时，投资在任何资产上的投资份额不得小于0，也不得大于1。即$\boldsymbol{0}\leq \boldsymbol{w} \leq \boldsymbol{e}$。
　　对于某特定的投资组合记为$p$，该投资组合的期望收益是风险资产期望收益向量与份额向量的内积，收益方差是以份额向量$w$为未知数，方差协方差矩阵$\boldsymbol{V}$为二次型矩阵的二次多项式。
$$\begin{eqnarray*} E(r_p) &= E(\boldsymbol{r})^T \boldsymbol{w} \\ \sigma^2_p &= \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{w} \end{eqnarray*}$$
　　资产组合选择问题的核心就是选择合适的份额向量$\boldsymbol{w}$以达到分散风险的目的。因此本质上讲这是一个极小化问题。该极小化问题的目标函数自然是组合的收益方差函数。关于$\boldsymbol{w}$的约束，首先，我们希望在给定收益的情况下来分散风险，即$E(\boldsymbol{r})^T\boldsymbol{w} = \mu_p$。因此组合的期望收益构成了第一个约束。另外，如前文所提，份额向量本身必须要满足份额之和为1的条件，即$\boldsymbol{e}^T\boldsymbol{w}=1$。这是第二个约束。最后关于卖空约束，视具体的环境而定，并非必需的约束。鉴于此，后文在求风险资产组合问题中的解时暂不涉及卖空约束。总的来说，该问题的目标函数以及约束条件写为：
$$\begin{eqnarray*} &min &\sigma^2_p = \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{w} \\ &s.t. &E(\boldsymbol{r})^T\boldsymbol{w} = \mu_p \\ & &\boldsymbol{e}^T\boldsymbol{w} = 1. \end{eqnarray*}$$
我们通过拉格朗日乘数法求该资产组合问题的解。拉格朗日函数为
$$L(\boldsymbol{w}, \lambda_1, \lambda_2) = \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{w}-\lambda_1(E(\boldsymbol{r})^T\boldsymbol{w} - \mu_p) - \lambda_2(\boldsymbol{e}^T\boldsymbol{w}-1),$$
目标函数取得极值的条件是$L(\boldsymbol{w}, \lambda_1, \lambda_2)$对$\boldsymbol{w}$、$\lambda_1$及$\lambda_2$的偏导数均为0，
$$\begin{eqnarray} {\partial L\over\partial \boldsymbol{w}} &=& 2\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{V}-\lambda_1 E(\boldsymbol{r})^T -\lambda_2 \boldsymbol{e}^T = 0 \label{eq:1}\\ {\partial L\over\partial \lambda_1} &=&-(E(\boldsymbol{r})^T\boldsymbol{w}-\mu_p)=0 \label{eq:2}\\ {\partial L\over\partial \lambda_2} &=&-(\boldsymbol{e}^T\boldsymbol{w}-1) = 0 \label{eq:3}\\ \end{eqnarray}$$
由$\eqref{eq:1}$可得
$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{w} = {1\over 2}\boldsymbol{V}^{-1}[E(\boldsymbol{r})　\boldsymbol{e}] \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \end{bmatrix}, \label{eq:4} \end{eqnarray}$$
由$\eqref{eq:L2}$$\eqref{eq:L3}$可得
$$\begin{eqnarray} [E(\boldsymbol{r})　\boldsymbol{e}]^T\boldsymbol{w}= \begin{bmatrix} \mu_p \\ 1 \\ \end{bmatrix}．\label{eq:5} \end{eqnarray}$$
将$(4)$左乘$[E(\boldsymbol{r})　 \boldsymbol{e}]^T$，结合$(5)$得
$${1 \over 2}[E(\boldsymbol{r})　\boldsymbol{e}]^T \boldsymbol{V}^{-1} [E(\boldsymbol{r})^T　\boldsymbol{e}] \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_p \\ 1 \\ \end{bmatrix},$$
将$[E(\boldsymbol{r})　\boldsymbol{e}]^T \boldsymbol{V}^{-1}[E(\boldsymbol{r})^T　\boldsymbol{e}]$记为$A$,显然$A$是一个对称满秩（秩为2）得矩阵，因此存在逆矩阵。可解出$\lambda_1$、$\lambda_2$的值
$$\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \end{bmatrix} = 2\boldsymbol{A}^{-1} \begin{bmatrix} \mu_p \\ 1 \\ \end{bmatrix}．$$
将$(6)$代回$(4)$，解出最优的份额向量
$$\begin{equation} \boldsymbol{w}_p = \boldsymbol{V}^{-1}[E(\boldsymbol{r})　\boldsymbol{e}] \boldsymbol{A}^{-1} \begin{bmatrix} \mu_p \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{equation}$$
再将$\boldsymbol{w}_p$代入目标函数,解得极小化的资产组合方差
$$\begin{equation} \sigma^2_p = (\boldsymbol{V}^{-1} [E(\boldsymbol{r})　\boldsymbol{e}] \boldsymbol{A}^{-1} \begin{bmatrix} \mu_p \\ 1 \\ \end{bmatrix})^T \boldsymbol{V} \boldsymbol{V}^{-1} [E(\boldsymbol{r})　\boldsymbol{e}] \boldsymbol{A}^{-1} \begin{bmatrix} \mu_p \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix} \mu_p & 1 \end{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} \begin{bmatrix} E(\boldsymbol{r})^T \\ \boldsymbol{e}^T \end{bmatrix} \boldsymbol{V}^{-1} [E(\boldsymbol{r})　\boldsymbol{e}] \boldsymbol{A}^{-1} \begin{bmatrix} \mu_p \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} \mu_p & 1 \end{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} \begin{bmatrix} \mu_p \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{equation}$$
　　不难看出，经过分散风险的组合方差$(7)$变成了关于组合期望收益$\mu_p$与1的二次型，或者说是$\mu_p$的二次多项式。经过风险极小化后的组合收益标准差与组合收益构成了一条曲线，被称为均值-方差前沿。为了进一步看清均值-方差前沿的结构，需要写出$\boldsymbol{A}$的具体形式，

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} E(\boldsymbol{r})^T \boldsymbol{V}^{-1} E(\boldsymbol{r}) & E(\boldsymbol{r})^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{e} \\ \boldsymbol{e}^T \boldsymbol{V}^{-1} E(\boldsymbol{r}) & \boldsymbol{e}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{e} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b\\ b & c\\ \end{bmatrix}$$

$$\boldsymbol{A}^{-1} = {1\over {ac-b^2}} \begin{bmatrix} c & -b \\ -b & a \\ \end{bmatrix} \tag{8}$$
将$(8)$代入$(7)$
$$\begin{split} \sigma^2_p &= {1\over {ac-b^2}} (c\mu_p^2 - 2b\mu_p + a) \\ &= (\sqrt{c} \mu_p - {b\over \sqrt{c}})^2 + a - {b^2 \over c} \end{split}$$

$${\sigma^2_p \over a - {b^2 \over c}} - {(\sqrt{c} \mu_p - {b\over \sqrt{c}})^2 \over a - {b^2 \over c}} = 1$$
由于$\boldsymbol{A}$是一个正定矩阵，因此$a-{b^2 \over c}>0$。至此步,可以看出，若以组合收益标准差为横轴，组合期望收益为纵轴，均值-方差前沿是一条双曲线的右支。曲线是既定收益水平与该水平下最小收益标准差的点集。在该曲线上存在一个最小方差点，该点是所有组合中收益方差最小的组合。从前沿的表达式不难看出该组合的标准差和期望收益为$(\sqrt{a - {b^2 \over c}}, {b \over c})$。