Chapter 1 消费为基础的模型及综述（Consumption-Based Model and Overview）

　　一个投资者必须决定如何储蓄及如何消费，以及持有什么样的资产组合。最基本的资产定价模型来自于这个决策的一阶条件（first-order condition）。今天略少消费或者多购买资产的边际效用损失应该等于未来多消费或者资产报酬（payoff）的边际效用增加。如果价格和报酬不满足以上关系，投资者应该买入更多或者更少的资产。因此推断推断若用投资者的边际效用将报酬折现，资产价格应该等于资产报酬的期望折现价值（expected discounted value）。利用这个简单的思想，我将陈述许多金融中的经典问题。
　　利率与期望边际效用增长有关，因此也与消费的期望路径（path）有关。在高实际利率时期，储蓄、买入债券并接着在明天消费更多是有意义的。因此，高实际利率应该与消费的期望相关。
　　更重要的是，对资产价格的风险修正（riskcorrections）应该由资产报酬与边际效用的协方差，也即资产报酬与消费的协方差产生。在像衰退（recession）这样的自然状态（statesofnature）中，投资者感到贫困并且消费很少，此时表现不佳的一项资产不如在繁荣（boom）自然状态中表现不佳的资产由吸引力，此时投资者感到富有并且大量消费。前者资产将会以更低的价格出售，它的价格会反映出由于自身“风险”的折扣，改风险取决于协方差，而非方差。
　　边际效用，而非消费，是你感受的基本测度。大部分资产定价理论都关于
　　

1.1 基本定价方程（Basic Pricing Equation）

我们的基本目标是确定所有不确定现金流的价值。
假设今天买了一只股票，下一期报酬为股价加上分红，即$x_{t+1}= p_{t+1} +d_{t+1}$。勿将报酬（payoff）$x_{t+1}$与收益（profit or return）混淆。$x_{t+1}$是某个投资在t+1时点的全部价值，无需减去初始的投资成本。
通过分析报酬（payoff）对于一个典型的投资者目前而言的价值来确定其价格。
我们用以投资者现期和未来的消费效用的现值来定义的效用函数来刻画投资者在两期消费中获得的总效用。

$$u(c_{t+1},c_{t})=u(c_{t})+\beta E[u(c_{t+1})]$$ 其中$c_t$指第t期的消费水平，而我们通常使用的一期消费函数形式是：
$$u(c_t )={{1\over {1-γ}} c_t^{1-γ}}$$
效用函数刻画了对更多消费的需求，即消费函数递增；并且为凸函数（原文为“concave”，意为凹），符合边际效用递减的假设。
在一期效用函数的基础之上，两期效用函数进一步刻画出投资者“不耐”（在确定的可消费能力下，喜欢当前消费）和风险厌恶（喜欢确定的现金流，着眼于现金流是否确定）的特点。即通过折现因子（discounting factor）$\beta$ 对未来的消费效用进行折现。
假设投资者可以自由地买入或卖出资产。其买卖数量应当使其两期的消费效用的当前价值最大化，即该问题为：
$$max.⁡ u(c_{t+1},c_{t})=u(c_t )+\beta E[u(c_{t+1})]$$ 投资者两期的消费水平为：
$$c_t=e_t-p_t ξ$$ $$c_{t+1}=e_{t+1}+x_{t+1} ξ$$ 其中ξ为买入的数量，e 为买入资产数量为0时的消费水平（可以视为可支配收入）。这两个表达式刻画出投资者通过买卖资产来实现消费能力的跨期配置。买入资产时会减少当期消费（增加未来的消费能力）。
结合约束条件（constraints）对目标效用函数（objective）求对ξ的偏导数，当偏导数为0时，得到（1.1）式：

$${p_t} u'( c_t )=E[\beta u'(c_{t+1})x_{t+1}] （1.1）$$ [1]
或
$${p_t}={E[{\beta u'(c_{t+1})\over u'(c_t)} x_{t+1} ]}（1.2）$$
式（1.1）中$p_t u'(c_t)$可以理解为由于买入资产而牺牲的消费效用，而$E[βu' (c_{t+1})x_{t+1}]$则相应的理解为将来获得的消费效用的折现价值，两者应当相等，否则投资者将继续会买入或卖出资产。
（1.2）式是资产定价方程的核心。当给定报酬（payoff）$x_{t+1}$以及投资者两期的消费选择$c_t，c_{t+1}$，方程告诉我们期望的市场价格$p_t$。

1.2Marginal Rate of Substitution/Stochastic Discount Factor边际替代率/随机折现因子

一种可以化简方程的简便方法是定义一个随机折现因子（Stochastic Discount Factor）$m_{t+1}$：

$$m_{t+1}≡{\beta u' (c_{t+1})\over u' (c_t ) }（1.3）$$

接着，就可以将基本定价方程简单地表达为：

$$p_t=E（m_{t+1}x_{t+1}）（1.4）$$ 当无需强调时间下标或者有条件期望和无条件期望的区别时，删去下标而仅写为$p=E（mx）$，式中的价格总是来自于第t 期，报酬来自于t+1 期，且 该期望是基于t时信息的条件期望。
随机折现因子（Stochastic Discount Factor）概括了标准的折现因子的思想。如果没有不确定性，价格可以用标准的现值方程来表达：
$$p_t={1\over R^f } x_{t+1}（1.5）$$ 其中$R^f$为无风险利率（没有不确定性即无风险），$1\over R^f$为折现因子。由于$R^f$通常大于1，所以t+1期的报酬$x_{t+1}$在当下“打折”出售。更高风险的资产相比于其他可比（原文equivalent应该指其他条件相同）资产而言价格更低。
$$P_t^i={1\over R^i}E(x_{t+1}^i)$$ 这里添加了上标$i$来强调每个风险资产$i$必须用特定的折现因子$1\over R^i$来折现。
式（1.4）显然是概括性的表述，表达深层次的含义是：投资者可以定义一个单独的折现因子$m_{t+1}$来概括所有的风险调整并将其放入预期。$m_{t+1}$是随机的，因为它在第t 期是无法被准确了解的。折现因子中的随机成分与资产特定的报酬$x_{t+1}$之间的联系引出了针对特定资产的风险调整。
$m_{t+1}$也常常被称为“边际替代率”（marginal rate substitution）。表示投资者愿意用将来的消费替代当前消费的比率。有时也被称为“定价核”（pricing kernel）。
目前，引入折现因子$m$并将基本定价方程（1.2）拆分为式（1.3）和（1.4）暂且是为了在符号上的便利。然而它表达了更深层次的含义以及带来更实用的分解。举例而言， $p=E（mx）$在我们改变了效用函数时依然有效，但我们需要一个不同的用于联系$m$和信息的函数。所有的定价模型衍生出各种方法来联系折现因子和信息。同时，我们将研究许多该方程的变形表达并能总结大量实证方法来应用到该方程中。通过将模型独立为两个部分，我们不必对每个资产的定价模型重复赘述。

1.3 Price，Payoffs and Notation 价格，报酬和符号

对于股票而言，一期的报酬自然等于价格加上分红，$x_{t+1}= p_{t+1}+ d_{t+1}$，我们频繁的用报酬xt+1除以价格pt来衡量收益：

$$R_{t+1}\equiv {x_{t+1}\over p_t}$$ 如果今天支付一美元，收益是明天得到的美元或消费能力。所以，收益服从：
$$1=E(mR）$$ [2]

可用小写字母$r=R-1$或$r=lnR$表示净收益。
收益在实证中很常用，因为它很平稳（没有趋势）“平稳”不意味着“常量”。
用以下形式表示报酬（payoff）：

$$x_{t+1}=({1+p_{t+1}\over d_{t+1}}){d_{t+1}\over d_t}$$
并非所有的报酬都可以被减为收益（return）。如果你以利率Rf借入一美元并投资于报酬（payoff）为R的资产，你在今天并没有付出自己的钱但却得到了R-RF的报酬。这是以0价格获得的报酬，所以不能用报酬（payoff）除以价格来计算收益（return）。0价格并不意味着0报酬。
许多资产定价着眼于超额收益。对利率变量的理解无益于我们对风险溢价（risk premia）的理解。
我们也想考虑管理组合，即某人根据某些信号来进行投资更多或更少。策略的“价格”为在$t$时刻投资的数量$z_t$，“报酬”为$z_tR_{t+1}$。举个例子，市场择时策略可能与价格股利比率成比例地来投资到股票中。价格高时投资少。我们可以通过报酬$z_t=a-b(p_t/d_t)$描述这样的策略。

一期债券也自然是对一单位报酬的要求权。债券、期权及投资项目全都是考虑价格和报酬而非收益的例子，
价格和收益可以是真实的（以商品命名）或名义的（以货币命名），唯一的区别在于用实际还是名义折现因子。如果p和x表示名义价值，我们可以将实际价格和实际报酬表示为：

$${p_t\over Π_t}=E[\beta {u'(c_{t+1})\over u'({c_t})} {x_{t+1}\over Π_{t+1}}]$$
其中$Π$指价格水平（CPI）。显然，这等同于定义名义折现因子：
$${p_t}=E[(\beta {u'(c_{t+1})\over u'({c_t})} {Π_t\over Π_{t+1}})x_{t+1}]$$
为了涵盖全部的例子，仅仅简单地用价格$p_t$和报酬$x_{t+1}$。这些符号可以指代上述例子当中具有代表性的0，1或者Zt及$R_t$，$R_{t+1}$ 或$Z_tR_{t+1}$，$p$和$x$的其他定义同样实用。

1.4 Classic Issues in Finance 金融中的经典问题

对基本定价方程稍作调整可以引出一些经典的金融问题并提供一些指导，包括利率的决定（determination），风险修正（risk correction），个体风险与系统风险（idiosyncratic versus systematic risk），$\beta$ 定价模型（beta pricing model）以及均值-方差边界（mean-variance frontier）。

1.4.1 无风险利率(risk-free rate )

无风险利率表示为：

$$R^f={1\over E(m)}（1.6）$$ [3]
假设效用函数为： $$u(c_t )={{1\over {1-γ}} c_t^{1-γ}}$$ 则： $$u'(c)=c^{-γ}$$ $$∴R^f={{1\over {\beta}}({c_{t+1}\over {c_t} })^{γ}}$$

从（1.6）式中可以发现：

1. 当人们越 “不耐”（即$\beta$越小），实际利率越高。每个人都想在当期消费，只有更高的利率才能说服他们储蓄（投资）。
2. 消费增长率高（即 $c_{t+1}/c_t$ 越大）时，实际利率越高。高利率时，投资者当前消费更少，投资更多，也即意味着未来消费更多。所以高利率降低通过提高从今天到明天的消费增长率来减少当前消费水平。
3. 当实际利率对消费的增长越敏感（即参数γ越大）时，实际利率越高。若效用高度弯曲，投资者会更在意保持跨期消费的平滑，而不太愿意重新安排（本期与下期之间的）消费来应对利率这一诱因。所以要用更大幅度的利率变动才能引导投资者达到给定的消费增长。
   为了理解在有不确定性时利率如何变动，我们假设消费增长（$C_{t+1}\over C_t$）服从对数正态分布（lognormally distributed），此时实际无风险利率方程变为：
   $$r_t^f=\delta +\gamma E(\Delta ln c_{t+1} )-{\gamma ^2\over 2} \sigma _t^2 (\Delta ln c_{t+1} )(1.7)$$ [4]

从式（1.7）中我们可以得到与（1.6）式同样的结论。
1. 人们越“不耐”（$\delta$越大，也即$\beta$越小）实际利率高；
2. 消费增长率越大（$\Delta lnc_{t+1}$越大），实际利率越高；
3. 参数γ越高，利率对消费增长率敏感程度越高。
4. $\sigma ^2$ （方差）刻画了“预防性储蓄”，当消费增长波动更剧烈时，相比于在高消费能力状态时感到满意，人们会更担心出现低消费能力的状态。因此人们想要储蓄更多，促使利率下降。
同样可以反过来解读同样的表述：
1. 当实际利率越高，消费增长率越大；因为人们当前会储蓄（投资）更多而在将来花费（抑制当前消费）
2. 当平滑消费的想法(由γ刻画）增加，消费增长对利率越不敏感（也即利率对消费增长敏感）
2.2节会提出应当如何解读方程这一问题——是消费水平决定利率还是利率决定消费水平。
对于效用函数，参数γ同时控制跨期替代——对随时间变动的消费流的厌恶和风险厌恶——对跨自然状态变动的消费的厌恶，以及取决于效用函数三阶导数的预防性储蓄。这是效用函数特别的联系，更一般的效用函数放宽了这三个量之间的关系。

1.4.2 风险修正（risk corrections）

用协方差的定义$Cov（m，x）=E(mx)-E(m)E(x)$可以将$p=E(mx)$写为：

$$p=E(m)E(x)+Cov（m，x）（1.8）$$
代入无风险利率方程（1.6）$R^f=1/(E(m))$，我们得到：
$$p={1\over R^f}E(x)+Cov（m，x）（1.9）$$
式（1.9）中的第一项是标准的现值方程，得到的是风险中性世界—基于消费稳定（没有不确定性）和效用呈线性（没有边际效益的递减）的假设中的资产价格。第二项是经过风险调整的方程。一项报酬随折现因子同方向变动（协方差>0）的资产价格上升，反之亦然。
将$m$具体表达式代入式（1.9）：
$$p={1\over R^f}E(x)+Cov（β{u'(c_{t+1})\over u'(c_t )},x）={1\over R^f}E(x)+{Cov（\beta u'(c_{t+1}),x）\over u'(c_t ) }$$
消费上升时边际效用下降，所以，当报酬（payoff，也即$x$）与消费（consumption）同向变动（边际效用$u’(c)$与报酬$x$的协方差<0）时资产价格将下降。相反的，报酬与消费反向变动（边际效用u’(c)与报酬x的协方差>0）的资产价格上升。
这主要是因为投资者不喜欢消费的不确定性。如果买一项其报酬与消费同向变动的资产，当你已经感到自己更富有时（消费更多）报酬可观，当你觉得自己贫穷时（消费更少）报酬却也低。这项资产会加剧消费的波动性。你会要求更低的价格来买入这项资产。如果买入报酬与消费反向变动的资产，这能帮助你平滑消费所以比期望的报酬更有价值。保险是一个典型的例子。
为了强调为何是资产的报酬与折现因子的协方差决定风险而非（资产的）方差，牢记投资者关心消费的波动性。如果他能保持稳定的消费投资者不关心单个资产或组合的波动性。考虑投资者买入数量ξ的报酬x时，消费的方差变为：
$$σ^2(c+ξx)=σ^2(c)+ξ^2 σ^2 （x）+2ξCov(x,c)$$
对于微小的份额变动，报酬和消费之间协方差决定了增加报酬对消费波动性的影响
若用收益形式$R^f$重新推导1.9式，则

$$E(R^i)-R^f=-R^f Cov(m，R^i)（1.12）$$ 或
$$E(R^i )-R^f={{-Cov(u' (c_{t+1})，R_{t+1}^i)}\over E[u'(c_{t+1})]}（1.13）$$ [5]
所有的资产都存在等同于无风险收益率加上风险修正后的期望收益。其收益与消费同方向变动的资产使消费波动更加剧烈，所以必须承诺更高的期望收益吸引投资者持有。相反，其收益与消费反向变动的资产，例如保险，能够提供比无风险收益率更低的期望收益率，甚至是负的净收益率。

1.4.3 特定（个体）风险不影响价格

只有与折现因子完全相关的那部分报酬才产生超额收益。特定风险，与折现因子无关，不产生超额收益。
若报酬的波动与折现因子$m$无关，资产价格无需受到任何风险调整。期望收益率等于无风险收益率。在方程中，表述为：

$$若Cov(m,x)=0$$ $$则p={E(x)\over R^f}$$
无论未来报酬$x$的方差多大。这种预测依然成立，即使报酬$x$剧烈波动，投资者对风险非常厌恶。原因在于：买入这样的（特定风险很大）资产对于消费的方差没有影响。
更一般地，投资者无法从持有特定风险中获得补偿或得到风险调整。只有系统性风险产生风险调整。我们可以通过进行回归将$x$分解为与折现因子相关的部分以及（剩余的）与折现因子无关的特定部分。
$$x=proj(x│m)+ε$$
残差或者说特定风险$ε$的价格为0。（资产报酬）x的价格等同于某个$m$下的映射（projection）的价格。$m$的映射是完全与$m$相关的部分。报酬的特定部分是与$m$无关的部分。是不带常数项的线性回归。
$$proj(x│m)={E(mx)\over E(m^2)} m$$ [6]
$$p(x)=p(proj(x│m))=p({E(mx)\over E(m^2)}m)=E(m^2 {E(mx)\over E(m^2)})=E(mx)$$

1.4.4 期望收益-β 表达式

可以期望收益方程（1.12）写为：

$$E(R^i )=R^f+{Cov（m，R^i ）\over Var(m)} ({-Var(m)\over E(m)} )(1.14)$$ 或 $$E(R^i )=R^f+β_{(i.m)} λ_m(1.15)$$
其中β是收益率$R$对$m$的回归系数。式(1.15)是一个$β$定价模型。它表明了每个期望收益应该与回归系数，或称β，成比例。注意对于每个资产$i$，$λ_m$都是相同的，而$\beta$却随着资产的不同而不同。$λ_m$通常称为风险价格，$β$称为资产中的风险数量。资产价格取决于折现因子的波动性。
可以用方程(1.14)的基于具体变量，即消费增长率，而非边际效用（抽象变量）的泰勒近似来表述β。结果为：
$$E(R^i )=R^f+β_{(i.\Delta c)}λ_{\Delta c}(1.16)$$ $$λ_{\Delta c}=γVar(\Delta c)$$
期望收益率应该随着基于消费增长的$β$线性增长。另外，风险溢价$λ_{\Delta c}$取决于对风险的厌恶以及消费的波动性。人们越厌恶风险，或者他们所处的环境风险越大，他们持有高风险资产的期望风险溢价就越高。

1.4.5 均值-方差边界(mean-variance frontier)

所有的收益都落在均值方差边界内。位于边界上的资产相互完全相关且各自与折现因子相关。边界上的收益是任意两个边界收益的组合。可以用边界收益构造任意一个折现因子（$R^f$除外），且将边界收益作为折现因子时（$R^f$除外），期望收益-$β$表达式始终成立。
一系列收益率的均值和方差收敛。所有以折现因子m定价的资产必须服从：

$$|E(R^i )-R^f |≤{σ(m)\over E(m)} σ(R^i)（1.17）$$ [7]

如图1.1
资产的均值-方差必须落在边界区域内。最小方差边界回答了在给定方差下能够获得的平均收益。
所有边界上的收益率与折现因子完全相关：边界满足相关系数$|ρ_{(m,R^i )}|=1。$
上半部分边界的收益率与折现因子完全负相关，与消费水平完全正相关。风险最大因此得到最大期望收益率。下半部分边界的收益率与折现因子完全正相关，与消费水平完全负相关。因此为消费波动提供最大的保险（风险最小，收益率最低）。
可以考虑完全相关以外的情况。考虑报酬$m\over E(m^2)$，它的价格是${E(m^2)\over E(m^2)}=1$，故其是边界上的收益。因此如果已知m（折现因子），我们可以构造一个均值-方差有效收益。
因为边界收益都与折现因子完全相关，所有的边界收益相互之间也完全相关。这个事实意味着我们能够从两个边界收益合成任何边界收益。
举例而言，如果取边界上任一收益率Rm，则收益率Rmv必须可以被表示为：

$$R^{mv}=R^f+a(R^m-R^f)$$
因为每个在均值-方差边界上的点与折现因子完全相关，能够去常数a，b，d，e如下：
$$m=a+bR^{mv}$$ $$R^{mv}=d+em$$
因此，任何边界收益率包含来所有的定价信息。给定有效收益和无风险收益，我们能够找到一个折现因子为所有资产定价，反之亦然。
给定一个折现因子，我们能构造一个单$β$表达式，所以期望收益能够利用均值-方差有效收益率在该表达式里描述。
$$E(R^i )=R^f+β_{(i,mv)} [E(R^{mv} )-R^f]$$
$β$定价模型的本质在于尽管收益均值和标准差（构成的点）布满边界以内的空间，图中的平均收益对$β$服从一条直线。因为β模型适用于包括$R^{mv}$本身在内的所有收益率，并且$R^{mv}$的$β$为1，可以将风险溢价因素定义为$λ=E(R^{mv}-R^f)$。
最后提示了折现因子，β模型，均值-方差边界的紧密关系。在第6章详述。
可以将收益的分解画在图1.1中，被定价部分与折现因子完全相关也因此与任何边界收益完全相关。残差或者说特定风险不产生任何期望收益，所以点水平落在图中，它与折现因子或任何边界收益不相关。边界内的资产并不比边界上资产“更差”。边界和内部区域描述了理性投资者愿意持有所有资产时的均衡资产收益。你不愿意将全部比例投资于“无效”资产上，但是还是愿意持有一部分这样的资产。

1.4.6 均值-标准差边界的斜率和股权溢价之谜

夏普比受限于折现因子的波动性。若风险和风险溢价越大，最大风险-收益 交易越陡峭。平均超额收益对标准差的比率被称为夏普比。

$$E(R^i )-R^f\over σ(R^i)$$
均值-标准差边界的斜率是可取的最大夏普比。它回答了承受更多的波动能够获得多少的平均收益。
记边界上的组合收益为$R^{mv}$。根据式(1.17)，边界的斜率为：
$$|{E(R^{mv} )-R^f\over σ(R^{mv})}|={σ(m)\over E(m)}=σ(m)R^f$$ [8]

因此，边界斜率由折现因子的波动性决定。
从经济学角度去解释，要再次考虑效用函数$u'(c)=c^{-γ}$

$$|{E(R^{mv})-R^f\over σ(R^{mv})}|={σ({c_{t+1}\over c_t })^{-γ}\over E[({c_{t+1}\over c_t })^{-γ}]} (1.19)$$
若消费波动更剧烈或γ较大时右边的标准差较大。可以用对数正态分布再表述得更详细。若消费增长服从对数分布，则：
$$|{E(R^{mv})-R^f\over σ(R^{mv})}|=\sqrt{e^{γ^2 σ^2 \Delta lnc_{t+1}}-1}≈γσ(\Delta lnc_{t+1})(1.20)$$ [9]

经济风险越大（消费波动越剧烈）或投资者对风险越厌恶，均值-标准差边界的斜率越大。两种环境自然地使投资者在持有风险资产时更不情愿承担额外的风险。两种环境同样也使期望收益-β线的斜率上升（1.16）（或者反过来说，在高夏普比的经济中，低风险厌恶投资者在消费变得不稳定时应该承担更多的风险）。
从战后美国的数据来看，历史均值-标准差边界的斜率，或者说收益-$\beta$线，远高于合理的风险厌恶和消费的波动的估计。这就是“股权溢价之谜”。过去的50年里，美国实际股票收益率平均为9%，标准差为16%，国库券收益率为1%。因此，夏普比大约为0.5。总的对消费品和服务的消费增长率的标准差约为1%。我们只能将这个事实归咎于投资者的风险厌恶系数为50！
这种用来推广估计的方法显然只会使得问题更棘手。式（1.20）将消费增长率和均值方差边界联系起来。式（1.20）中假设了总消费和市场收益率完全相关，但事实上约有0.2的相关性。如果考虑了这个事实，风险厌恶系数需要达到250才能解释夏普比！个人消费比总体风险更大，
显然：要么（1）人们比我们想象中更厌恶风险，或者（2）过去50年里股票收益率是好运而不是风险补偿，要么（3）这个模型里有很大的谬误，包括效用函数和总消费数据的使用。

1.4.7 随机游走与时变期望收益

如果投资者风险中性，收益无法预测，价格服从鞅（martingale）。总的来说，定价目前都已经专注于一系列价格的行为或资产收益（之间的关系）。考虑单个给定资产价格的跨时间行为，首先回到基本一阶条件：

$$p_t u'(c_t)=E[βu' (c_{t+1})(p_{t+1}+d_{t+1})]（1.21）$$
如果投资者风险中性，如果效用函数呈线性（效用函数导数为常数，即$u'(c_{t+1})=u'(c_t )$）或者消费不存在方差，如果$t$期至$t+1$期之间没有分红，且短期内$β$接近于1，这个等式为：
$$p_t=E(p_{t+1})$$
对应地，价格服从时间序列过程：
$$p_{t+1}=p_t+ε_{t+1}$$
如果方差$σ^2 (ε_{t+1})$为常数，价格服从随机游走。更一般地，价格服从鞅。
如果今天的价格低于投资者对明天价格的预期，投资者将尝试买入该证券。这一行为会促使证券价格上升直至今天的价格等于明天的期望价格。另外一种说法是收益是不可预测的；除以价格pt，期望收益$E({p_{t+1}\over p_t})=1$应该为常量；收益应该像掷硬币。
更一般的等式（1.21）说明价格在调整分红和边际效用之后应该服从鞅。由于鞅具有实用的数学性质，并且风险中性是一个如此简单的经济环境，资产定价结果都首先简单地通过测量折现后的边际效用的价格和分红，然后利用“风险中性”准则和风险中性经济论证。
由于消费和风险厌恶逐日变动不大，我们可能认为随机游走这个观点可能与依靠“系统”或“技术分析”能够预测股价的变动的观点相悖。
长期的超额收益率是可预测的。
$$E(R_{t+1})-R_t^f=-{Cov_t（m_{t+1},R_{t+1}）\over E_t (m_{t+1})}$$ $$={-σ_t(m_{t+1})\over E_t(m_{t+1})} σ_t(R_{t+1}) ρ_{t (m_{t+1},R_{t+1})}（1.22）$$

$$≈γ_t σ_t (\Delta c_{t+1}) σ_t (R_{t+1} ) ρ_{t (m_{t+1},R_{t+1})}$$
其中$\Delta c_{t+1}$指消费增长。
引入$i$来强调这个关系适用于有条件的时刻。有时，条件均值或者其他时刻的变量与无条件时刻不同。以今天的天气预报为条件，能够比仅知道那一日期的平均降水更好地预测明天的降雨。这个特别的例子中随机变量相互独立，就像掷硬币一样，有条件和无条件时刻是一样的，但是这是一个特别的例子，无法对所有的资产价格、收益及宏观变量成立。我们设想了一个今天能形成对明天报酬、消费以及其他变量的预期的投资者。因此，这些时刻都是有条件的，如果我们想要严格一些我们应该引入符号来描述这个事实。我用$E_t(x_{t+1})$来记条件期望，符号$E_t(x_{t+1}|I_t)$，其中$I_t$表示$t$时刻的信息，更严格但却有点累赘。
考察式（1.22）可以发现收益某种程度上是可预测的——收益的条件方差随时间改变。首先，如果收益的条件方差随时间变化，我们也可以认为条件均值随时间变化——收益沿着稳定的夏普比附近变化。这个解释貌似没太大帮助。预测均值的变量不是为了预测方差，反之亦然。除非我们想探究条件相关性，可预测的超额收益必须由变动的风险—$\sigma_t(\Delta c_{t+1})$—或者变动的风险厌恶$\gamma$ 解释。风险和风险厌恶不可能以每天的频率变动，但幸运的是收益不用要求每天都是可预测的。更值得庆幸的是风险和风险厌恶是随着商业周期变动的，这恰恰是我们看待可预测收益的角度。

1.4.8 现值表达（present-value statement）

仅考虑价格和报酬的两期估值较简便。但有时候我们需要联系价格和整个现金流，而非仅仅分红和下一期的价格。
最直接的方法是写出一个长期目标函数：

$$E_t\sum_{j=0}^\inftyβ^j u(c_{t+j})$$
假设一个投资者能以价格$p_t$买到现金流$d_{t+j}$。利用两期模型，一阶条件直接给出定价方程。
$$p_t=E_t \sum_{j=0}^\infty {\beta^ju'({c_{t+j})}\over u'(c_t)} d_{t+j}=E_t \sum_{j=0}^\infty m_{t,t+j}d_{t+j}（1.23）$$
可以发现如果等式在t和t+1成立，可以导出两期模型：
$$p_t=E_t [m_{t+1}(p_{t+1}+d_{t+1})] (1.24)$$
因此，无限期模型和两期模型是等价的。
(如果你将式（1.24）链接起来，你得到的是式（1.24）加上一个附加项。为了得到式（1.23），还需要符合无限期投资者的一阶条件$lim_{j\rightarrow \infty}E(m_{t,t+j}p_{t+j})=0$，这在两期投资者的代际交叠中没有表达出来。它挤出了价格上升很快以至于人们购买仅仅为了以更高的价格再次卖出的“泡沫”。)
从1.23可以写出对价格的风险调整，如同对一期报酬所做的那样：
$$p_t=\sum_{j=0}^\infty{E_t [{d_{t+j}\over R_{t,t+j}^f }]}+\sum_{j=0}^\infty Cov(d_{t+j}, m_{t,t+j})$$
其中$R_{t,t+j}^f≡E_t(m_{t,t+j})^{-1}$是j期的利率。
其分红边际效用反向变动，与消费同向变动的资产（即$m$越大，$d$越小）价格较低，因为持有这种资产使投资者消费流波动更加剧烈。（不进行风险调整直接折现的做法较普遍，但这种方法在处理复杂问题是很难准确运用，尤其当收益会随时间变动）。

1.5 Discount factors in continuous time连续时间中的折现因子

首先，需要考虑如何建模来代替$p_t$和一期回报$x_{t+1}$，使一只普通股票在任何时点的价格为$p_t$。（在这里$p_t$是一个价格$p$对$t$的函数，在符号上延续间断时间的处理，仍记为p_t）在dt时间间隔内，以Dt的比率分红。使用大写字母是为了与运算符号d区分。
瞬时总收益为：

$${dp_t\over p_t}+{D_t\over p_t}dt$$
将风险资产价格建模为扩散模型：
$${dp_t\over p_t} =μ(\cdot)dt+σ(\cdot)dz$$
（用记号$dz$表示增量服从布朗运动。（布朗运动（Brownian movement） 微小粒子表现出的无规则运动。）用记号$(\cdot)$说明偏移和扩散 （$μ$和$σ$）可以作为变量的函数。将讨论限制在扩散过程。）增量$dz$是正态的。然而意味着有限时间价格$f(p_{t+\Delta} |I_t)$的分布不必正态。
可以考虑一只有稳定价格为1，且以无风险利率支付分红的无风险证券：
$$p=1 , D=r_t^f（1.25）$$
或者不发放分红但价格稳定上升：
$${(dp_t)\over p_t}=r_t^f dt（1.26）$$
接着，写出在连续时间里的一阶条件，效用函数为：
$$U({c_t })=E\int_{t=0}^\infty e^{-δt} u(c_t)dt$$
假设投资者能够购买价格为$p_t$，且支付股利$D_t$的证券。这个问题的一阶条件给我们提供了无限期的基本定价方程：
$$p_t u' (c_t )=E_t \int_{t=0}^\infty e^{-δs} u'(c_{t+s})D_{t+s} ds (1.27)$$
这个方程是以下方程的近似：
$$p_t=E_t \sum_{j=0}^\infty\beta ^j{u'(c_{t+s})\over u'(c_t )} D_{t+j}$$
在连续时间里除以$u'(c_t)$并不合适，因为比率${u'(c_{t+\Delta})\over u'(c_t)}$在微小的时间间隔里没什么变动，但是我们能够跟踪边际效用水平。因此，定义“折现因子”为：
$$\Lambda_t\equiv e^{-δt} u'(c_t)$$
可以将定价方程写为：
$$p_t Λ_t=E_t \int_{s=0}^\infty\Lambda_{t+s} D_{t+s} ds（1.28）$$ [10]

一期定价方程$p=E(mx)$的近似为：

$$0=ΛDdt+E_t [d(Λp)]（1.29）$$ [11]

式（1.29）看起来和$p=E(mx)$不同，因为左边没有价格。通常认为一期定价方程是在 $t$ 时给定条件，包括 $t+1$ 时的价格，下确定价格。式（1.30）里是存在价格的，但等式左边以价格间的差额而非价格本身表示，右边用报酬表示更简便。
没有分红和常数Λ，$0=E_t (dp_t)=E_t (p_{t+\Delta}-p_t )$说明价格应该服从鞅。因此，$E_t [d(Λp)]=0$意味着边际效用加权价格应该服从鞅，式（1.29）调整了分红。因此，这与与式（1.21）（在间断时间下推导出的$p_t=E_t[m_{t+1} (p_{t+1}+d_{t+1})]$）相同。
因为要写出$dp$的过程和$dΛ$的过程，并且将式（1.29）解释为期望收益的形式，所以运用伊藤引理将$d(Λp)$分解为：

$$d(Λp)=pdΛ+Λdp+dpdΛ（1.32）$$
在式（1.29）的基础上运用（1.32）这个扩展形式，两边同时除以$pΛ$，得到以下等式：
$$0={D\over pdt}+E_t [{dΛ\over Λ}+{dp\over p}+{dpdΛ\over pΛ}] (1.33)$$
（该方程只在$p$和$Λ$均不为0时成立）
将式（1.29）或式（1.33）代入式（1.25）或（1.26）定义的无风险利率中，得到：
$$r_t^f dt=-E({dΛ_t\over Λ_t}) (1.34)$$ [12]

式（1.34）相当于在连续时间条件下的利率决定方程，等价于以下方程：

$$R_t^f={1\over E_t (m_{t+1})}$$
如果无风险利率不交易的，可以用式（1.34）来定义一个影子无风险利率或0-$\beta$利率。
可以将式（1.33）重排为：
$$E_t（{dp\over p}）+{D\over p}dt=r_t^fdt-E_t{dpdΛ\over pΛ} (1.35)$$
式（1.36）是在连续时间条件下等价于以下方程：
$$E(R)=R^f-R^f Cov(m.R) (1.36)$$
式（1.35）的最后一项为收益率和折现因子或边际效用的协方差。由于，所以协方差和式（1.35）中的第二时刻没有区别。式（1.36）的最后一项的利率部分随着时间间隔缩小趋向于0。
伊藤引理简化了很多变形。例如消费和折现因子之间的非线性变型引出一些间断时间中的近似。这种变换在连续时间中较容易。已知$Λ_t≡e^{-δt} u'(c_t)$，则有：
$$dΛ_t=-δe^{-δt} u'(c_t)dt+e^{-δt}u''(c_t)dc_t+{1\over 2} e^{-δt} u'''(c_t )dc_t^2$$
$${dΛ_t\over Λ_t}=-δdt+{c_t u''(c_t)\over u'(c_t)}{(dc_t)\over c_t} +{1\over 2}{c_t^2 {u'''(c_t )\over u'(c_t)}}dc_t^2 (1.37)$$
记：
$$γ_t=-{c_t {u''(c_t)\over u'(c_t)}}$$
$$η_t=c_t^2 {u'''(c_t)\over u'(c_t)}$$
（前者是效用系数，后者是η_t=γ(γ+1)）。
利用这个方程可以很快重新写出利率和消费增长之间的关系：
$$r_t^f=-{1\over dt} E_t({dΛ_t\over Λ_t})=δ+γ_t {1\over dt} {dc_t\over c_t}-{1\over 2} η_t {1\over dt} dc_t^2$$
用式（1.37）代入（1.35）可以用消费风险而非折现因子风险表示资产价格。
$$E_t ({dp\over p})+{D\over pdt}-r_t^fdt=-γE_t ({dcdp\over cp}) （1.38）$$
因此，收益与消费协同变动的资产平均超额收益率更高，联系协方差和平均收益的常数为效用曲率系数γ。
由于相关系数小于1，式（1.38）表明夏普比与效用函数的曲率和消费的协方差直接相关；不需要式1.20中对数正态的条件和近似处理。
利用$μ_p≡E({dp\over p})；σ_p^2≡E[({dp\over p})^2]$；$σ_c^2≡E[({dc\over c})^2]$，
$${μ_p+{D_t\over p_t} dt-r_t^f dt\over σ_p} ≤γσ_c$$