Chapter 1 以消费为基础的模型及综述（Consumption-Based Model and Overview）

译稿

---

1.1 Basic Pricing Equation基本定价方程

　　我们的基本目标是确定所有不确定现金流的价值。我们从一个简单浅显的例子开始，最终刻画非常一般的情形。
　　让我们来找出报酬（payoff）$x_{t+1}$在时间 $t$ 的价值。如果你今天买了一只股票，下一期的报酬是股价加上分红，$x_{t+1}= p_{t+1}+d_{t+1}$。$x_{t+1}$ 是一个随机变量：一个投资者无法确切知道他将从投资中获得多少，但他可以预计各种可能结果的可能性。勿将报酬（payoff）$x_{t+1}$与利润或收益（profit or return）混淆。$x_{t+1}$是投资在t+1时点的价值，没有减去投资成本。
　　我们通过追问报酬（payoff）对于一个典型投资者而言值多少来确定其价值。为了实现这一点，我们需要一个简洁的数学形式来刻画什么是一个投资者想要的。我们用效用函数（utility function）来塑造投资者，效用函数则在建立当前消费和未来的消费的基础之上，

$$u(c_{t+1},c_{t})=u(c_{t})+\beta E[u(c_{t+1})]$$ 其中$c_t$指第t期的消费水平。我们经常使用的一个简洁的幂效用形式（power utility form）为：
$$u(c_t )={{1\over {1-γ}} c_t^{1-γ}}$$ 当$\gamma \rightarrow 1$的极限为 $$u(c)=ln(c)$$ 效用函数刻画了对更多消费的需求，而不是对中间目标的需求，例如资产组合收益的均值方差。消费 $c_{t+1}$ 同样是随机的，投资者并不知道他明天的财富，因此他也不知道明天决定消费多少。效用函数 $u(\cdot)$ 是递增的，反映了对更多消费的需求，并且为凸函数，反映额外消费所带来的递减的边际值。最后一口的满足感永远不如第一口。
　　刻画出投资者的不耐和他们对风险的厌恶，所以我们可以定量地对风险和现金流的滞后进行修正。通过 $\beta$ 对未来进行折现刻画了不耐，并且 $\beta$ 被称为主观折现因子（subjective discount factor）。效用函数的曲率产生了对风险和跨期替代的厌恶：投资者偏爱随时间并随自然状态稳定的消费流。
　　假设投资者可以按照其意愿，以价格 $p_t$ 自由地买入或卖出资产。那么他会买或者卖多少呢？为了找到答案，记初始的消费水平为 $e$ (如果消费者没有买任何资产)，记 $\xi$ 为其选择买入的资产数量。那么，该问题为：
$$max　u(c_{t+1},c_{t})=u(c_t )++\beta E[u(c_{t+1})]　s.t.$$
$$c_t=e_t-p_t ξ$$ $$c_{t+1}=e_{t+1}+x_{t+1} \xi$$ 将约束条件代入目标函数中，并把对 $\xi$ 的导数设为0，当偏导数为0时，我们得到最优消费与资产选择的一阶条件，

$${p_t} u'( c_t )=E[\beta u'(c_{t+1})x_{t+1}] （1.1）$$ [1]
或 $${p_t}={E[{\beta u'(c_{t+1})\over u'(c_t)} x_{t+1} ]}（1.2）$$ 投资者买入更多或者更少的资产直到一阶条件成立。
　　式（1.1）表示最优的标准边际条件：$p_t u'(c_t)$是由于投资者再买入一单位资产导致的效用损失，$E[βu'(c_{t+1})x_{t+1}]$是从 $t+1$ 时刻的额外报酬实现的（折现的，期望的）效用增加。投资者会不断买入或卖出资产直至边际损失等于边际收益。
　　（1.2）式是核心资产定价方程。给定报酬 $x_{t+1}$ 以及投资者的消费选择 $c_t，c_{t+1}$，它将告诉你期望的市场价格$p_t$。

1.2Marginal Rate of Substitution/Stochastic Discount Factor边际替代率/随机折现因子

　　一种可以化简方程（1.2）的简便方法是定义一个随机折现因子（stochastic discount factor）$m_{t+1}$：

$$m_{t+1}≡{\beta u' (c_{t+1})\over u' (c_t ) }（1.3）$$

接着，就可以将基本定价方程简单地表达为：

$$p_t=E（m_{t+1}x_{t+1}）（1.4）$$
　　当无需明示时间下标或者条件期望和无条件期望的区别时，删去下标而仅写为$p=E（mx）$。价格总是来自于第 $t$ 期，报酬来自于 $t+1$ 期，且期望是基于时间 $t$ 信息的条件期望。
　　随机折现因子(stochastic discount factor)一词意指 $m$ 概括标准折现因子(standard discount factor)思想。如果没有不确定性，价格可以用标准的现值方程来表达：
$$p_t={1\over R^f } x_{t+1}（1.5）$$ 其中$R^f$为总无风险利率（ gross risk-free rate），$1\over R^f$为折现因子。由于$R^f$通常大于1，报酬$x_{t+1}$“打折”出售。风险更高的资产相比于等价资产而言价格更低，所以它们经常由风险调整后的折现因子来确定价值，
$$P_t^i={1\over R^i}E(x_{t+1}^i)$$ 在这里，添加了上标$i$来强调每个风险资产$i$必须用特定的折现因子$1\over R^i$来折现。
　　就此而论，式（1.4）显然是一个概括性的表述，它表达了深层次的含义是：可以通过定义一个唯一的折现因子（single stochastic discount factor）——对每个资产都相同——并将其放入期望中来囊括所有的风险调整。$m_{t+1}$是随机的，因为它在第 $t$ 期是无法被准确了解的。折现因子中的随机成分与资产特定的报酬$x_{t+1}$之间的关联产生了针对特定资产的风险调整（risk corrections）。
　　式（1.3）后边部分的 $m_{t+1}$ 也常常被称为“边际替代率”（marginal rate substitution）。该式中， $m_{t+1}$ 表示投资者愿意用将来的消费替代当前消费的比率。有时也被称为“定价核”（pricing kernel）。
　　目前，引入折现因子 $m$ 并将基本定价方程（1.2）分解为式（1.3）和（1.4）暂且是为了在符号上的便利。然而它表达了更深层次的含义以及带来更实用的分解。举例而言，注意到 $p=E（mx）$在我们改变了效用函数时依然有效，但我们需要一个不同的用于联系$m$和信息的函数。所有的定价模型衍生出各种方法来联系折现因子和信息。所有的定价模型意味着各种联系随机折现因子与数据之间的方式。同时，我们将研究许多该方程的变形表达并能总结大量实证方法应用于 $p=E（mx）$ 中。通过将模型独立为两个部分，我们不必对每个资产的定价模型重复赘述。

1.3 Price，Payoffs and Notation 价格，报酬和

1.4 Classic Issues in Finance 金融中的经典问题

对基本定价方程稍作调整可以引出一些经典的金融问题并提供一些指导，包括利率的决定（determination），风险修正（risk correction），个体风险与系统风险（idiosyncratic versus systematic risk），$\beta$ 定价模型（beta pricing model）以及均值-方差边界（mean-variance frontier）。

1.4.1 无风险利率(risk-free rate )

无风险利率表示为：

$$R^f={1\over E(m)}（1.6）$$ [2]
假设效用函数为： $$u(c_t )={{1\over {1-γ}} c_t^{1-γ}}$$ ，则： $$u'(c)=c^{-γ}$$ $$∴R^f={{1\over {\beta}}({c_{t+1}\over {c_t} })^{γ}}$$

从（1.6）式中可以发现：

1. 当人们越 “不耐”（即$\beta$越小），实际利率越高。每个人都想在当期消费，只有更高的利率才能说服他们储蓄（投资）。
2. 消费增长率高（即 $c_{t+1}/c_t$ 越大）时，实际利率越高。高利率时，投资者当前消费更少，投资更多，也即意味着未来消费更多。所以高利率降低通过提高从今天到明天的消费增长率来减少当前消费水平。
3. 当实际利率对消费的增长越敏感（即参数γ越大）时，实际利率越高。若效用高度弯曲，投资者会更在意保持跨期消费的平滑，而不太愿意重新安排（本期与下期之间的）消费来应对利率这一诱因。所以要用更大幅度的利率变动才能引导投资者达到给定的消费增长。

1.4.2 风险修正（risk corrections）

1.5 Discount factors in continuous time连续时间中的折现因子